1、第五节 一、平面的点法式方程平面的点法式方程 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 三、两平面的夹角三、两平面的夹角 平面及其方程 zyxo0Mn 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程 ),(0000zyxM设一平面通过已知点 且垂直于非零向 0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程, 求该平面的方程. ,),(zyxM任取点法向量. 量 , ),(CBAn nMM000nMM则有 故 的为平面称nkji例例1.1.求过三点 ,1M又) 1,9,14(即 1M2M3M解解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 346231nn3
2、121MMMM一般情况一般情况 : 过三点 ) 3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为 特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程截距式方程. 1czbyax时, )0,(cba平面方程为 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般平面的一般 0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数 ,000zyx则 0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(222CBA ),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是 法向量为 方程方程. 特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x
3、+ B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示 0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. ,), 0(iCBn例例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程. 例例3. .用平面的一般式方程导出平
4、面的截距式方程. 解解: 因平面通过 x 轴 , 0 DA故设所求平面方程为 0zCyB代入已知点 ) 1, 3,4(得 化简,得所求平面方程 三、两平面的夹角三、两平面的夹角 设平面1的法向量为 平面2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos即 212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 2特别有下列结论：特别有下列结论： 21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAn
5、CBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n因此有 例例4. 一平面通过两点 垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 . 解解: 设所求平面的法向量为 ,020CBA即 的法向量 ,0CBA)0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得 0) 1() 1() 1(2zyx即 02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和 则所求平面 故 方程为 n21MMn且 外一点,求 例例5. 设 222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd解解: :
6、设平面法向量为 ),(1111zyxP在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . 0P,则P0 到平面的距离为 01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式) xyzo0M例例6. 解解: 设球心为 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限,且 2220001111zyx00331xx , 1000zyx因此所求球面方程为 000zyx, ),(0000zyxM四面体的球面方程. 从而 )(半径R内容小结内容小结 1.平面平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点 01
7、31313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx)0(abc0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 2121cosnnnn 021nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn )5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyxEx1: 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程. ) 1 , 1 , 1 (解解: 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 ),1, 1, 1 (1n)12,2, 3(2n21nnn