1、二、微分运算法则二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用 第五节 一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 ,2xA0 xx面积的增量为 xx 020 xAxx 02)( x关于x 的线性主部 高阶无穷小 0 x时为 故 称为函数在 的微分 0 x当 x 在 0 x取 得增量 x时, 0 x变到 ,0 xx边长由 其 的微分微分, 定义定义: 若函数 在点
2、的增量可表示为 0 x( A 为不依赖于x 的常数) 则称函数 )(xfy 而 称为 xA记作 即 xAyd定理定理: 函数 在点 可微的充要条件充要条件是 0 x)( xoxA即 xxfy)(d0在点 可微可微, 定理定理 : 函数 证证: “必要性”必要性” 已知 在点 可微 , 则 )()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故 )( xoxA在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件充要条件是 0 x在点 处可导, 且 即 xxfy)(d0定理定理 : 函数 在点 可微的充要条件充要条件是 0 x在点 处可导, 且 即 xxfy)(d0“充分性”充分性” 已知 )(
3、lim00 xfxyx)(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即 xxfy)(d0在点 的可导, 则 说明说明: 0)(0 xf时 , xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以 0 x时 yyd很小时, 有近似公式 xyyd与 是等价无穷小, 当 故当 微分的几何意义 xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小时, xyyd时，当xy 则有 xxfyd)(d从而 )(ddxfxy导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分自变量的微分, 为称
4、 x记作 xdxyxd记 例如例如, ,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函数的微分公式 (见 P115表) 又如又如, 二、二、 微分运算法则微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 xxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 vudd vuuvdd 例例1. 求 解解: 211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe例例2. 设 求 例例3. 在下列括
5、号中填入适当的函数使等式成立: xxd) d() 1 (ttdcos) d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. CC注意: 数学中的反问题往往出现多值性. 三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 )()(0 xoxxfy当 x很小时, )()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则: ;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式: 特别当 xx,00很小时, xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式: x1很小) x
6、(xxxx1四、四、 微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差绝对误差 称为a 的相对误差相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限相对误差限 内容小结内容小结 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导 可微 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : uufufd)()(d( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算 估计误差 思考与练习思考与练习 1. 设函数 的图形如下, 试在图中标出的点 0 x处的 yy ,d及 ,dyy并说明其正负 . yd0 xx00 xxyoy00yyd2. xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos215. 设 由方程 确定, 解解: 方程两边求微分, 得 xx d32当 0 x时 ,0y由上式得 xyxd21d0求 yy d32xxd3cos30d6y1. 已知 求 解解：因为 所以 Ex: 方程两边求微分, 得 已知 求 解解： 2.