1、二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念 高阶导数 第二章 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念 速度 即 sv加速度 即 )( sa引例引例：变速直线运动 定义定义. 若函数 )(xfy 的导数 )(xfy可导, 或 即 )( yy或 )dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 1n阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 )(xf的二阶导数二阶导数 , 记作 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 设 求 解解: 1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次类推 , nnany!)(
2、233xa例例1. 思考思考: 设 , )(为任意常数xy 问 可得 nx)1 ( ,3xaeay 例例2. 设 求 解解: 特别有: 解解: ! ) 1( n规定 0 ! = 1 思考思考: ,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3. 设 求 ,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(nxy11 y2)1 (1x,例例4. 设 求 解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 , xxnsin()(sin)(类似可证: x
3、xncos()(cos)()2n)2n例例5. 设 ,3)(23xxxxf求使 )0()(nf存在的最高 分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是 ,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 . 2 又 0 x,24x0 x,12x阶数 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) !2) 1( nn!) 1() 1(kknnn莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式
4、公式 及 设函数 例例6. 求 解解: 设 ,22xveux则 xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得 )20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2182)20,2,1(k)20,3(k内容小结内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 )(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如, 思考与练习思考与练习 1)()1 (!) 1(2nnnxny3,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函数的 n 阶导数? xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 解解: 设 求 其中 f 二阶可导. Ex: