1、第八节第八节 一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题 三、条件极值三、条件极值 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某去心邻域内有 xyzxyz说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成
2、立. 0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 时, 具有极值 定理定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02BAC02BAC例例1.1. 求函数 解
3、解: 第一步第一步 求驻点求驻点. . 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) . 第二步第二步 判别判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 ABC的极值. 求二阶偏导数 ,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0A在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值. ,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0)6(122BAC,0A在点(1,2) 处 不是极值; ,0)6(122BACABC例例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解解: 显然
4、 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 ,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值. 正正 负负 0 在点(0,0) xyzo并且在 (0,0) 都有 可能为 二、最值应用问题二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值 )(Pf为最小 值 ( (大大) ) ( (大大) ) 依据 例例3 3. 解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的
5、面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? ,m2yxyxyx2220)(222xxyA0)(222yyxA因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. )2,2(33323222233例例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解解: 设折起来的边长为 x cm, 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为 , cos2224xx(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大.
6、)0,120:(2 xD为 问怎样折法才能使断面面 cos24xcos22x0)sin(cos222x令 xAsin24sin4x0cossin2xA解得: 由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求. ,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x三、条件极值三、条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外
7、, 还有其它条件限制 例如 , 转化 ,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 .),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如, 故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足: 朗
8、日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. ),(),(yxyxfF推广推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数 下的极值. 在条件 ),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF例例5. 要设计一个容量为 0V则问题为求x , y , 令 解方程组 解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 02zyyz02zxxz0)(2yxyx00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 0Vzyxyxz
9、yzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得唯一驻点 ,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 ,340Vxyz思考思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示提示: 利用对称性可知, 30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示: )()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等 . 内容小结内容小结 1. 函数的极值问题函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充
10、分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 , ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值, 解方程组 第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 3. 函数的最值问题函数的最值问题 在条件 求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使
11、ABC 面积 S最大. 解答提示解答提示: CBAoyxED设 C 点坐标为 (x , y), 思考与练习思考与练习 031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922 yxyx则 10321yx设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大. )491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2 EDSSEx: 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则 ,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为 zRSsin22130,0,0zyx设拉格朗日函数 )2(sinsinsinzyxzyxF解方程组 0cosx, 得 32zyx故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx