1、第二章 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数导数 描述函数变化快慢 微分微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton 一、引例一、引例 二、导数的定义二、导数的定义 三、导数的几何意义三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数五、单侧导数 第一节第一节 导数的概念导数的概念 第二章 一、一、 引例引例 1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 0t则 到 的平均速
2、度为 v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为 lim0ttv)()(0tftf0tt 221t gs so)(0tf)(tft自由落体运动 xyo)(xfy C2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 曲线 NT0 xM在 M 点处的切线 x割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 tan)()(0 xfxf0 xx切线 MT 的斜率 tanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx两个问题的共性共性: so0t)(0tf)(tft瞬时速度 切线斜率 xyo)(xfy CNT0 xMx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度
3、角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 二、导数的定义二、导数的定义 定义定义1 . 设函数 在点 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在, 并称此极限为 记作: ;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即 0 xxy)(0 xf xyx0lim则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导可导, 在点 的导数导数. 运动质点的位置函数 )(tfs so0t)(0tf)(tft在 时刻的瞬时速
4、度 0t曲线 )(:xfyC在 M 点处的切线斜率 xyo)(xfy CNT0 xMx)(0tf )(0 xf 说明说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数. )()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在 , 在点 不可导. 0 x若 ,lim0 xyx也称 在 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: ;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意: )(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 例例1. 求函数 (C 为常数) 的导数. 解解: y
5、即 例例2. 求函数 解解: axafxf)()(ax limaxaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1naxxfxxf)()(0limx说明：说明： 对一般幂函数 xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如， )(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明） hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函数 的导数. 解解: 则 hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx)2cos(lim0hxhxcos即 xxcos)(sin类似可证得 xxsin)(cos例例4. 求函数 的导数. 解解: hxfh
6、xf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0即 xx1)(ln0limhh1x1x0limhelnxhhh1lim0或 则令,0hxt原式 是否可按下述方法作: 例例5. 证明函数 在 x = 0 不可导. 证证: hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , 例例6. 设 存在, 求极限 .2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式 0limh)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf三、三、 导数的几何意义导数的几何意义 xyo)(xfy
7、CT0 xM曲线 在点 的切线斜率为 )(tan0 xf 若 曲线过 上升; 若 曲线过 下降; xyo0 x),(00yx若 切线与 x 轴平行, 称为驻点驻点; 若 切线与 x 轴垂直 . 曲线在点 处的 切线方程切线方程: 法线方程法线方程: )0)(0 xfxyo0 x1111例例7. 问曲线 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程. 解解: 3231x,0 xy令 ,3113132x得 ,1x对应 ,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的
8、可导性与连续性的关系 定理定理1. 证证: 设 在点 x 处可导, 存在 , 因此必有 其中 故 0 x所以函数 在点 x 连续 . 注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导. 反例反例: xyoxy 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 即 在点 的某个右右 邻域内 五、五、 单侧导数单侧导数 若极限 则称此极限值为 在 处的右右 导数导数, 记作 )(0 xf即 )(0 xf(左) (左左) )0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如, xxf)(在 x = 0 处有 xyoxy 定义定义2 . 设函数 有定义, 存在, 定理定理2. 函数 在点 且 )(0 xf 存在 )
9、(0 xf简写为 在点 处右右 导数存在 定理定理3. 函数 在点 必 右右 连续. (左左) (左左) 若函数 )(bf与 都存在 , 则称 显然: 在闭区间 a , b 上可导 在开区间 内可导, 在闭区间 上可导. 可导的充分必要条件 是 且 内容小结内容小结 1. 导数的实质: 3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. )(C )(cos xaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;sin xx1增量比的极限; 切线的斜率; 思考与练习
10、思考与练习 1. 函数 在某点 处的导数 区别: )(xf 是函数 , )(0 xf 是数值; 联系: 0)(xxxf)(0 xf 注意注意: 有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？ 与导函数 2. 设 存在 , 则 ._)()(lim000hxfhxfh3. 已知 则 )(0 xf 0k4. 若 时, 恒有 问 是否在 可导? 解解: 由题设 由夹逼准则 故 在 可导, 且 5. 设 , 问 a 取何值时, 在 都存在 , 并求出 解解: )0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故 1a时 此时 在 都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 . Ex: 解解: 因为 1. 设 存在, 且 求 所以 )() 1 ()(1 (lim210 xfxfx在 处连续, 且 存在， 证明: 在 处可导. 证证：因为 存在， 则有 又 在 处连续, 所以 即 在 处可导. 2. 设 xfxfx)0()(lim0故