1、第二节 一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算 二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法 引例引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 ),(txu0 xoxu中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, ),(0txu关于 t 的 将振幅 定义定义1. ),(yxfz 在点 存在, xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为 ),(00yx的某邻域内 00yyxxxf xx00 x则称此极限为函数 极限 设函数 )(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx;00yyxxxz 0ddxxxy.
2、 ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx注意注意: 同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数偏导数 , ),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy记为 yy00y或 y 偏导数存在 , ,yzyfyz例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . xxx?),(zyxfy?),(zyxf
3、zx偏导数定义为 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义: 00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线 yTM0在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 yxz0 xyToxT0y0M对 y 轴的 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如例如, , 0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz00注意：注意： 但在该点不一定连续不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 例例1 . 求 223yyxxz在点(1 , 1) 处的偏导数.
4、 例例2. 设 ，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 例例3. 求 的偏导数 . 求证 偏导数记号是一个 例例4. 已知理想气体的状态方程 求证: 1pTTVVp说明说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 二、高阶偏导数二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数， )(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 22xz);,
5、(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数: 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 ) (yyxznn1偏导数为 yxe22例例5. 求函数 yxez2.23xyz解解 : xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处 ,22xyzyxz但这一结论并不总成立. yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyf
6、xxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如, ),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等 yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx例例6. 证明函数 满足拉普拉斯 0222222zuyuxuu方程 ,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则 定理定理. 例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明说明
7、: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续连续时, 有 而初等 (证明略) 内容小结内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 思考与练习思考与练习 解答提示: P130 题 5 ，时当022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy0)0 ,(dd)0 , 0(xxfxfx0), 0(dd)0 , 0(yyfyfyP130 题 5 , 6 222222)()(yxyxx即 xy0 时, P130 题6 (1) ,12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2) ,1yxyxzxxyzyln,) 1(2 .22yxyyxzxxyxyxzyyln1 .12xxyzy222lnEx:1 设 方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 求 解解: