1、第七节第七节 一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度 l),(zyxP一、方向导数一、方向导数 定义定义: 若函数 ),(zyxff0lim则称 lflf为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数. ),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处 沿方向 l (方向角为 , ) 存在下列极限: P记作记作 ,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理: 则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 , flf0limcoscoscoszfyfxflf证明证明: 由函数 ),(z
2、yxf)(ozzfyyfxxff 且有 )(o在点 P 可微 , 得 P故 coscoscoszfyfxf对于二元函数 , ),(yxf为, ) 的方向导数为 方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyxPlxyoxflf特别特别: : 当 l 与 x 轴同向 有时,2,0 当 l 与 x 轴反向 有时,2,xflfl向角 例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . Plu1422zyx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦为 例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导
3、数. 解解:将已知曲线用参数方程表示为 2)2, 1 (xx它在点 P 的切向量为 ,171cos1760 xoy2P1 2xyxx)4, 1 (174cos1例例3. 设 是曲面 n在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解解: 方向余弦为 ,142cos,143cos141cos而 PxuPnu同理得 ) 1,3,2(2方向 的方向导数. Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866在点P 处沿 求函数 nn二、梯度二、梯度 方向导数公式 coscoscoszfyfxflf令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方
4、向导数取最大值： zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l,0方向一致时与当Gl:GGlfmax1. 定义定义 , fadrg即 同样可定义二元函数 ),(yxP称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 zfyfxf,记作 (gradient), 在点 处的梯度 G说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 向量 2. 梯度的几何意义梯度的几何意义 函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值线等值线 . ,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf
5、 2cf 3cf )(321ccc设P同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 .gradPf, ),(yxfz 对函数指向函数增大的方向. 3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式 uCuCgrad)(grad(2)uvvuvugradgrad)(grad(4)例例4. 证证: )(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证 rxrf)( 处矢径 r 的模 , r三、物理意义三、物理意义 函数 (
6、物理量的分布) 数量场数量场 (数性函数) 场 向量场向量场(矢性函数) 可微函数 )(Pf梯度场梯度场 )(gradPf( 势 ) 如: 温度场, 电位场等 如: 力场,速度场等 (向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场. 例例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 ),(4222zyxrrqu试证 证证: 利用例4的结果 这说明场强: 处所产生的电位为 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向. Eugrad)4(02rrqE 场强04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf内容小结内容小结 1. 方向导数方向导数 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 ),
7、为的方向导数为 coscoscoszfyfxflf 二元函数 在点 ),的方向导数为 coscosyfxflf沿方向 l (方向角为 2. 梯度梯度 三元函数 在点 处的梯度为 zfyfxff,grad 二元函数 在点 处的梯度为 ),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系 方向导数存在 偏导数存在 可微 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影. 思考与练习思考与练习 1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 . 2. P131
8、 题 16 曲线 1. (1) 在点 )1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf解答提示解答提示: 函数沿 l 的方向导数 lM (1,1,1) 处切线的方向向量 )0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad1306arccosl cosl42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax2. P131 题 16 Ex: 1. 函数 在点 处的梯度 解解: 则 注意 x , y , z 具有轮换对称性 )2,2, 1 (92)2,2, 1 (92指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 . 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数 )ln(22zyxu提示提示: 则 cos,cos,cos) 1ln( x) 11ln(2y2121