1、*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 )( xoxAyxxfy)(d近似计算 估计误差 本节内容本节内容: 一、全微分的定义、全微分的定义 全微分 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 , )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 ),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作 yBxAfzdd若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x
2、, y) 可微可微， 处全增量 则称此函数在在D 内可微内可微. (2) 偏导数连续 ),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 ),(lim00yyxxfyx由微分定义 : 得 zyx00lim0),(yxf函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理定理1 1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 , 则该函数在该点偏导数 yyzxxzzdxz同样可证 ,Byz证证: 由全增量公式 ,0y令)(xoxA必存在,且有 得到对 x
3、 的偏增量 xxx因此有 xzxx0limA反例反例: 函数 ),(yxf易知 ,0) 0, 0 ()0, 0 (yxff 但 )0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 . )(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 . 22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 0,2222yxyxyx0, 022 yx定理定理2 (充分条件) yzxz,若函数 的偏导数 ,),(连续在点yx则函数在该点可微分. xxu推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 ),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表
4、示, udzzud的全微分为 yyuzzu于是 例例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 例例2. 计算函数 的全微分. 解解: udyyd) cos(221zyez内容小结内容小结 1. 微分定义: zzdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系: )( o函数可导函数可导 函数可微函数可微 偏导数连续偏导数连续 函数连续函数连续 思考与练习思考与练习 1. P130 题 1 (总习题八) 函数 ),(yxfz 在 ),(00yx可微的充分条件是( ) ;),(),()(00连续在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内
5、存在 ; yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量 ; 22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量 . 2. 选择题 D答案答案: 3. 已知 在点 (0,0) 可微 . Ex: 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续, ),(yxf而证证: 1) 因 221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数 xy222yx 所以 ),(yxfx,)0 , 0(),(时当yx,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理 221sinyx 3222)(yxyx),(lim)0 , 0(),(yxfxxx极限不存在 , ),(yxfx在点(0,0)不连续 ; 同理 , ),(yxfy在点(0,0)也不连续. xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2) 3) ,)()(22yx4) 下面证明 )0 , 0(),(在点yxf可微 : yfxffyx)0 , 0()0 , 0(说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 令 则