1、*第五节 一、被积函数含参变量的积分一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分二、积分限含参变量的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 含参变量的积分 第九章 一、被积函数含参变量的积分一、被积函数含参变量的积分 ,),(baRyxf是矩形域设上的连续函数, 则积分 yyxfd),(确定了一个定义在a, b上的函数, 记作 yyxfxd),()(x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分. 含参积分的性质 定理定理1.(连续性连续性) ,),(baRyxf在矩形域若上连续, 则由 确定的含参积分在a, b上连续. 连续性, 可积性, 可微性 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、证证: ),(yxf由于在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即 , 0任给,0存在, ),( , ),(2211yxyxR内任意两点对只要 2121,yyxx就有 ),(),(2211yxfyxf, 0,任给因此,0存在,时当x就有 )()(xxxyyxfyxxfd),(),(yyxfyxxfd),(),(这说明 .,)(上连续在bax机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1 表明, 定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的. , ,0bax 即对任意yyxfxxd),(lim0yyxfxxd),(lim0同理可证, 上连在矩形域若,),(baRyxf续, bax
3、yxfyd),()(则含参变量的积分 .,上连续也在机动 目录 上页 下页 返回 结束 由连续性定理易得下述可积性定理: 定理定理2. (可积性可积性) ,),(baRyxf在矩形域若上连续, yyxfxd),()(则且上可积在,baDyxyxfdd),(同样, baxyxfyd),()(且上可积在,Dyxyxfdd),(推论推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序, 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. (可微性可微性) ),(),(yxfyxfx及其偏导数若都在 ,上连续矩形域baRyyxfxd),()(则且上可微在,bayyxfxxd),(dd)(yyxfxd
4、),(证证: 令 ,d),()(yyxfxgx上的连续是则,)(baxg函数, ,时故当baxxaxxgd)(xyyxfxxadd),(yxyxfxaxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 yyafyxfd),(),()()(ax因上式左边的变上限积分可导, 因此右边 ，可微)(x且有 )()(xgx xaxxgd)(yyxfxd),(此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. . )0(dln10baxxxxIab求解解: yxbayd由被积函数的特点想到积分: abyxxlnxxxabln
5、yxxIbaydd10 xxyybadd10yyxbayd1011yybad1111lnab), 1 , 0(上连续在baxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. .d1)1ln(102xxxI求解解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 .d1)1ln()(102xxxtt显然, , 1 , 0 1 , 01)1ln(2上连续在xxt,) 1 (, 0)0(I由于 xxtxxtd)1)(1 ()(102xxttxtxxtd1111121022机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1ln(arctan)1ln(211122xtxtxt01)1ln(42ln21112ttt)0() 1
6、 (Ittttd)1ln(42ln211121001arctan2ln21t012)1ln(8ttttd1)1ln(102I2ln4故 2ln8I因此得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分限含参变量的积分二、积分限含参变量的积分 在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如, ),(yxf设为定义在区域 bxa上的连续函数, )()(xyxxoyba)(xy)(xyD则 也是参变量 x 的函数 , )()(d),()(xxyyxfx:D其定义域为 a , b . 利用前面的定理可推出这种含参积分的性质. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.(连续性连续性) 在区域若
7、),(yxf),()(),(:bxaxyxyxD上连续, ,)(),(上的连续函数为其中baxx则函数 )()(d),()(xxyyxfx.,上连续在ba证证: 令 , 1, 0,)()()(txxtxy则 10),()(xfx由于被积函数在矩形域 1, 0,ba上连续, 由定理1知, 上述积分确定的函数 .,)(上连续在bax定理定理5. (可微性可微性) ),(),(yxfyxfx及其偏导数若都在 ,上连续矩形域dcbaR为定义在)(),(xx上,ba)()(d),()(xxyyxfx且，上可微在,ba中的可微函数, 则 )()(d),()(xxxyyxfx)()(,(xxxf)()(,(
8、xxxf证证: ,)(看作复合函数把x令 ),()(xHx ,d),(yyxf)(),(xx,dc其值域含于机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得 ),()(xHx ,d),(yyxf)(),(xx)()()(xHxHxHx)()(d),(xxxyyxf)()(,(xxxf)()(,(xxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. ).(,dsin)(2xyyxyxxx求设解解: )(xyyxxxdcos2xxx2sin231sin2xxxxxyx2sinxx3sin2xx2sinxxx23sin2sin3机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.
9、 ,0)(的某邻域内连续在设xxf充验证当 x分小时, 函数 xnttftxnx01d)()(! ) 1(1)(的 n 阶导数存在, 且 . )()()(xfxn证证: 令 , )()(),(1tftxtxFn),(),(,txFtxFx及显然在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理5 可得 xnttftxnnx02d)()(1(! ) 1(1)()()(! ) 1(11xfxxnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 xnttftxnx02d)()(! )2(1)(即 同理 ,d)()(! ) 3(1)(03 xnttftxnxxnttfx0) 1(d)()()()()(xfxn于是 作业作业 (*习题9-5) P123 1(2), (3) ; 2 (2), (4) ; 3 ; 4 (1) ; 5 (1) 习题课 目录 上页 下页 返回 结束