1、推广推广 第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同 多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第一节第一节 一、区域一、区域 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 三、多元函数的极限三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 00 PP一、一、 区域区域 1. 邻域邻域 点集 称为点 P0 的 邻域邻域. . 例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域) 在空间中, ),(),(0zyxPU(球邻域) 说明：说明：若不需要强调邻域半径 ,
2、 ,也可写成 . )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为 0PP在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 ),() ,U(0yxP。 0P因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 2. 区域区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的点也含不属于 E的点 E则称 P 为 E 的内点内点； 则称 P 为 E 的外点外点 ; 则称 P 为 E 的边界点边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边
3、界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点聚点 若对任意给定的 , , 点P 的去心 E邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) D (3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ; 例如，例如，在平面上 0),( y
4、xyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域 闭区域 xyo21xyoxyoxyo21 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 但非区域 . 11o xy 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与定点 O的距离 OP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 . 否则称为无无 3. n 维空间维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间维空间, ,Rnn 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标坐标 . 记作 即 RRRRn一个点点, 当所有坐标 称该元素为 nR中的零元, 记作 O . 的距离距离记作
5、中点 a 的 邻域邻域为 ),(21nyyyy与点),(R21nnxxxx中的点规定为 ),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为 22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常记作时当 0Raxaxn满足与定元中的变元. ax 记作nR二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式 cbahr定义定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集 DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义 在 D 上的 n 元函数
6、元函数 , 记作 xzy例如, 二元函数 221yxz定义域为 1),(22 yxyx圆域 说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 图形为中心在原点的上半球面. , )sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面 . 12R),(yx三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 xyzo三、多元函数的极限三、多元函数的极限 定义定义2. 设 n 元函数 ,R),(nDPPf点 , , ) ,(0PUDP则称 A 为函数 (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作： Ayxf
7、),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 记作 Ayxfyyxx),(lim00都有 对任意正数 , 总存在正数 , 切 例例1. 设 )0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证： .0),(lim00yxfyx证证: 故 0),(lim00yxfyx,0 ,022时当yx22yx , 总有 要证 例例2. 设 0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证： .0),(lim00yxfyx证：证： 0),(yxf故 0),(lim00yxfyx, 0 yx ,2 时，当022yx总有 要证 若当点 ),(yxP趋于不同值或
8、有的极限不存在， 解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限. ),(yxf故则可以断定函数极限 则有 21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 以不同方式趋于 ,),(000时yxP不存在 . 例例3. 讨论函数 函数 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. 二重极限 ),(lim00yxfyyxx不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 例如例如, 显然 ),(limlim00yxfyyxx与累次极限 ),
9、(limlim00yxfyx,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 . 四四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数 )(Pf定义在 D 上, )()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 ,0DP 聚点如果存在 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续. 连续, 例如例如, 函数 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数 上间断. 122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论结论: 一切多元初等函数在定义
10、区域内连续. 定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 )()2(Pf在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 ，DQ(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: .11lim00yxyxyx解解: : 原式 21例例4. .求 222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例5. 求函数 的连续域. 解解: 02 yx2yx 111lim00yxyx2oyx2内容小结内容小结 1. 区域 邻域 : , ) ,(0PU) ,(0PU 区域 连通的开集 空间nR2. 多元函数概念 n 元函数
11、),(21nxxxf常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 DP)(Pfu nRAPfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有 )( APf3. 多元函数的极限 4. 多元函数的连续性 1) 函数 连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 P61 题 2; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P130 题 3; 4 思考与练习思考与练习 解答提示解答提示: : P62 题 2. 称为二次齐次函数 . P63 题 5(3). 定义域 P63 题 5(5)
12、. 定义域 2xy DyxoRxyoDrP63 题 8. 间断点集 P130 题 3. 定义域 240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P130 题 4. 令 y= k x ， 0若令 xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42yx1, 则 可见极限 不存在 Ex: 1. 设 求 解解 令 ,2xyu yxv ),(2yxxyf222yxy3. 证明 在全平面连续. 证证: 为初等函数 , 故连续. 又 220yxyx)0 , 0(f故函数在全平面连续 . 由夹逼准则得 内容小结内容小结 1. 区域 邻域 : , ) ,(0PU) ,(0PU 区域 连通的开集 空间nR2. 多元函数概念 n 元函数 ),(21nxxxf常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 DP)(Pfu nRAPfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有 )( APf3. 多元函数的极限 4. 多元函数的连续性 1) 函数 连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续