1、第三节 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功 二、二、 液体的侧压力液体的侧压力 三、三、 引力问题引力问题 定积分在物理学上的应用 第六六章 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . xabxxxd在其上所作的功元 素为 xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 baxxFWd)(例例1. 一个单 求电场力所作的功 . qorabrrdr 11解解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律库仑定律电场力为 则功的元素为 rrqkWdd2所求功为 rqk
2、1ab)11(baqk说明说明: aqk位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, S例例2. 体, 求移动过程中气体压力所 ox解解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . ab建立坐标系如图. xxdx由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例3. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图. oxm3xxxdm5在任一小区间 d,x
3、xx上的一薄层水的重力为 gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为 Wdxxdg9故所求功为 50Wxxdg9g922xg5 .112( KJ ) 设水的密度为 05(KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板 二、液体侧压力二、液体侧压力 设液体密度为 深为 h 处的压强: hpgh当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 平板一侧所受的压力为 小窄条上各点的压强 xpg33g2R例例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 )0(Rx 利用对称性 ,
4、侧压力元素 RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为 xd方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 说明说明: 当桶内充满液体时, , )(gxR小窄条上的压强为 侧压力元素 Pd故端面所受侧压力为 奇函数奇函数 3gR)(gxRRxxRR022dg4tRxsin令( P350 公式67 ) oxyRxxxd三、三、 引力问题引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , 1m2mr二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 例
5、例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, M该棒对质点的引力. 解解: 建立坐标系如图. y2l2l,dxxx细棒上小段 对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故垂直分力元素为 cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在 试计算 FdxFdyFdxxd利用对称性利用对称性 223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力 .0 xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为 2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对
6、质点的引力的垂直分力为 y2l2laoxxxdx说明说明: amk2当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . y内容小结内容小结 (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微元的几何形状有: 扇扇、片片、 等. (2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: 2.定积分的物理应用: 变力作功 , 侧压力 , 引力, 条条、段段、带带、 锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 . Ex: 斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于 解解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l , 水中, 并使一直角边与水面相齐, coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxgly则其方程为 问斜边与水面交成的 sin0lP,0ddP令33arccos0故得唯一驻点 故此唯一驻点 0即为所求. 由实际意义可知最大值存在 , 即 ly