1、江淮十校2023届高三第一次联考数学试题一、选择题（本大题12小题，每小题5分）1已知集合，则（ ）A B C D2已知均为单位向量，且，则（ ）A1 B C2 D33已知，则复数的虚部是（ ）A B C1 D4一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际得到的黄金（ ）A等于10克 B小于10克 C大于10克 D不能确定5已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则的最小值是（ ）
2、A B C D6在正方体中，则下列判断错误的是（ ）A平面 B平面平面C直线过的垂心 D平面与平面夹角为7已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（ ）A B C D8已知函数是上的奇函数，且，且当时，则的值是（ ）A2 B C0 D9已知在菱形中，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（ ）A B C D10下列四个不等式中，成立的个数是（ ）；A1 B2 C3 D411已知函数，以下结论正确的是（ ）A是的一个周期 B函数在单调递减C函数的值域为 D函数在内有6个零点12甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3
3、个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）A B事件与事件B相互独立 C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为_14安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案
4、有_种15已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_16若不等式对一切恒成立，则的最大值为_三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分10分）已知数列满足：（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式（2）若，证明：18（本题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足（1）求角B（2）若边上的中线长为，求的面积和周长19（本题满分12分）在三棱锥中，的面积为，点O为的中点，且（1）求证平面平面（2）E为线段上的点，若与面所成的角
5、为，求的长度20（本题满分12分）华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”据资治通鉴注释中说“从此道可至华容也”通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者（1）小明一周训练成绩如表所示，现用作为经验回归方程类型，求出该回归方
6、程第x（天）1234567用时y（秒）105844939352315（2）小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，21（本题满分12分）已知双曲线过点，且离心率为（1）求双曲线C的方程（2）设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点22（本题满分12分）已知函数（1）当时，
7、求在点处的切线方程（2）若在时有两个零点，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DBACCDAACBCD1【答案】D【解析】由得，所以，因为，所以2【答案】B【解析】由得（，即得，所以3【答案】A【解析】设，由得，即，所以且得，所以，从而4【答案】C【解析】设天平的左右臂长分别为，第一次加黄金x克，第二次加黄金y克，则根据物理知识可得，且，即，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以等号不成立，所以克5【答案】C【解析】设公比为q（显然），由得，即，得或（舍去），所以最小值为6【答案】D【解析】由，得平面得，同理可得，所以
8、平面，故A正确；由得平面平面，故B正确；出三棱锥为正三棱锥（或由两两垂直）得直线过的垂心，故C正确；连接交于O点，连接，由，得即为所求角，因为，故D错误7【答案】A【解析】设，由椭圆定义得，由得，得，得，得，所以8【答案】A【解析】由得函数为周期函数，周期为6，所以，由函数为奇函数，得，得函数图象关于对称，即，所以9【答案】C【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过这两点分别作平面、平面的垂线，交于点O，则O就是外接球的球心；取中点E，连接，因为，所以，因为和是正三角形，所以，由得，所以由，即球半径为，所以球体积为10【答案】B【解析】设，得在上单调递增，在上单调递减；由得，故错误；由，得
9、，故错误；由得，从而，即，故正确（解法2：因为在上恒成立得；因为，在处取等号，所以，故正确11【答案】C【解析】因为，所以A错误；当，其中，不妨令为锐角，所以，所以，因为，所以B错误；因为是函数的一个周期，可取一个周期上研究值域，当，所以，即；因为关于对称，所以当时，故函数在上的值域为，故C正确；因为函数为偶函数，所以在区间上零点个数可通过区间上零点个数，由，在图象知由2个零点，所以在区间上零点个数为4个，所以D错误12【答案】D【解析】由题意得，所以A错误；因为，所以，故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误；，所以C错误；由上述得D正确二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13
10、【答案】1120【解析】由的展开式中只有第5项二项式系数最大得，所以展开式通项为，当时常数项为112014【答案】210【解析】可分为两种情况：15【答案】【解析】因为，所以，所以；连接，又，所以为等边三角形，由，得，得，由得，所以16【答案】【解析】令得，当时，得在上单调递增，当时，与矛盾当时，得：当时，令，则，当时，当时，的最大值为三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解：（1）由，故数列是以2为首项，公差为2的等差数列，当时，满足，故对（2）证明：，故，故18解：（1）由外接圆半径为得，由，得，利用正弦定理得：，即，化简得，由C为的内角，可得，又B为的内角，所
11、以（2）由正弦定理得：，设D为边上的中点，则，解法一：在中，在中，因为，所以，可得，由余弦定理，即，由三角形面积公式得：，由，得，所以周长为解法二：利用向量加法法则得：，两边平方得：，即，由余弦定理，即，两式相减得，即，由三角形面积公式得：，由，得，所以周长为19解：（1）且，又，由可得，解得，则所以为正三角形所以；因为，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面（2）作，交的延长线于点H，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以，在直角三角形中，在等边三角形中，在中，所以在直角三角形中，过点E作，垂足为F，则，所以平面，所以就是与平面所成的角，设，由，得，由，得，在直角三角形中，因
12、为与平面所成角为，所以，即，即即在线段上是存在一点E，使与面成角，且解法二：建系法20解：（1）由题意，根据表格中的数据，可得，可得所以，因此y关于x的回归方程为：（2）记小明获胜时比赛的局数为x，则x取值为3、4、5，21解：（1）由题意得：，解得，则双曲线C的方程为（2）解法1：因为点在圆上，所以圆在点处的切线方程为，化简得则直线l的方程为，代入双曲线C的方程，变形为，整理得等号两边同除以，得到设，则，故，即以为直径的圆过坐标原点解法二因为点在圆上，所以圆在点处的切线方程为，化简得由及得，切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，则，且，即以为直径的圆过坐标原点22解：（1）当时，所以，所以又，所以曲线在点处的切线方程为（2），若在上有两个零点，令，则在上有两个零点，令，则，令，则所以在上单调递增，故当时，在上单调递增，即，则在上单调递增，所以，所以有且仅有1个零点，不符合条件当时，所以，使得当时，单调递减，则，当时，单调递增，因为当时，所以存在，使得即当时，则在上单调递减，当时，则在上单调递增，又，当时，所以在上有两个零点即在上有两个零点综上所述，实数a的取值范围是