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第一章勾股定理 同步测试(含答案)2022—2023学年北师大版八年级数学上册

1、第一章勾股定理第一章勾股定理 一选择题一选择题 1如图,分别以直角三角形的两条直角边为边长构造两个正方形,两个正方形的面积分别为1 和 2,则该直角三边形的斜边长为( ) A5 B3 C D 2如果梯子的底端离建筑物 5 米,13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是( ) A12 米 B13 米 C14 米 D15 米 3一个杯子的底面半径为 6cm,高为 16cm,则杯内所能容下的最长木棒为( ) A6cm B12cm C16cm D20cm 4一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其它的数据弄混了,请你帮助他找出来,是第( )组 A13,12,12 B12,1

2、2,8 C13,10,12 D5,8,4 5课堂上,王老师要求学生设计图形来证明勾股定理,同学们经过讨论,给出两种图形,能证明勾股定理的是( ) A行,不行 B不行,行 C,都行 D,都不行 6一部电视机屏幕的长为 58 厘米,宽为 46 厘米,则这部电视机的大小规格为(实际测量误差忽略不计)( ) A34 英寸(87 厘米) B29 英寸(74 厘米) C25 英寸(64 厘米) D21 英寸(54 厘米) 7如图所示,甲渔船以 8 海里/时的速度离开港口 O 向东北方向航行,乙渔船以 6 海里/时的速度离开港口 O 向西北方向航行,他们同时出发,一个半小时后,甲、乙两渔船相距( ) A12

3、 海里 B13 海里 C14 海里 D15 海里 8下列各组数能作为直角三角形三边长的是( ) A1,2,3 B3,4,5 C5,12,17 D32,42,52 9如图,这是用面积为 18 的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”如果大正方形的边长为 9,那么小正方形的边长为( ) A1 B2 C3 D4 10如图,AD 是 ABC 的中线,若 ABAC5,BC6,则 AD 的值是( ) A4 B3 C2 D2 二填空题二填空题 11如图,一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断,树的顶端落在离树杆底部 4 米处,那么这棵树折断之前的高度是 米 12如图所示,李明从家出发向正北方向走了 12

4、00 米,接着向正东方向走到离家 2000 米远的地方,这时,李明向正东方向走了_米. 13 如图, 小明将一张长为 20cm, 宽为 15cm 的长方形纸剪去了一角, 量得 AB=3cm, CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为_ 14如图,在 ABC 中,C90 ,AC4,BC2以 AB 为一条边向三角形外部作正方形ABDE,P 为 DE 上一点,则四边形 ACBP 的面积为 15 如图, “赵爽弦图”由 4 个完全一样的直角三角形所围成, 在 Rt ABC 中, ACb, BCa,ACB90 , 若图中大正方形的面积为 60, 小正方形的面积为 10, 则 (a+b)2的值为 16

5、如图, 每个小正方形的边长都相等, A, B, C是小正方形的顶点, 则ABC的度数为 17观察下列勾股数组:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;若 a,144, 145 是其中的一组勾股数, 则根据你发现的规律, a (提示: 5, 13, ) 18某住宅小区有一块草坪如图所示,已知 AB3 米,BC4 米,CD12 米,DA13 米,且 ABBC,这块草坪的面积是 米2 三解答题三解答题 19有一块田地的形状和尺寸如图所示,求出它的面积是多少 20 将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上, 旗杆从旗顶到地面的高度为 320cm, 在无风的天气里,彩旗自然下垂,如右图 求彩旗

6、下垂时最低处离地面的最小高度 h彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形(单位:cm) 21如图是“弦图”的示意图,“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的,它标志着中国古代的数学成就它由 4 个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形,每个直角三角形的两条直角边分别为 a、b,斜边为 c请你运用此图形证明勾股定理:a2+b2c2 22如图所示,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,现有一辆卡车装满家具后,高 4 米,宽 2.8 米,求这辆送家具的卡车能否通过这个通道. 23 (1)一位同学从勾股数“3,4,5”中发现,由此他发现

7、最小数是奇数的勾股数的构造方法你发现了吗?请你写出以下几组勾股数组: 5, , ;7, , ;9, , ; (2)写出一般规律的表达方式, (用字母 n 表示,n 为正整数) n , , 24 (1)如图 1,长方体的长为 4cm、宽为 3cm,高为 12cm,现有一只蚂蚁从点 A 处沿长体表面爬到点 G 处,求它爬行的最短路程; (2)如图 2,将题中长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 12cm,底面周长为 10cm,在容器内壁离底部 3cm 的点 B 处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 3cm 的点 A 处,求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少? 25如图

8、, ABC 中,ACB90 ,AB10cm,BC6cm,若点 P 从点 A 出发,以每秒 2cm的速度沿折线 ACBA 运动,设运动时间为 t 秒(t0) (1)若点 P 在 AC 上,且满足 PAPB 时,求出此时 t 的值; (2)若点 P 恰好在BAC 的角平分线上,求 t 的值 第一章勾股定理第一章勾股定理 一选择题一选择题 1如图,分别以直角三角形的两条直角边为边长构造两个正方形,两个正方形的面积分别为1 和 2,则该直角三边形的斜边长为( )选:C A5 B3 C D 2如果梯子的底端离建筑物 5 米,13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是( )选 A A12 米 B13 米 C1

9、4 米 D15 米 3一个杯子的底面半径为 6cm,高为 16cm,则杯内所能容下的最长木棒为( )选:D A6cm B12cm C16cm D20cm 4一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其它的数据弄混了,请你帮助他找出来,是第( )组选 C A13,12,12 B12,12,8 C13,10,12 D5,8,4 5课堂上,王老师要求学生设计图形来证明勾股定理,同学们经过讨论,给出两种图形,能证明勾股定理的是( )选:A A行,不行 B不行,行 C,都行 D,都不行 6一部电视机屏幕的长为 58 厘米,宽为 46 厘米,则这部电视机的大小规格为(实际测量误

10、差忽略不计)( )选 B A34 英寸(87 厘米) B29 英寸(74 厘米) C25 英寸(64 厘米) D21 英寸(54 厘米) 7如图所示,甲渔船以 8 海里/时的速度离开港口 O 向东北方向航行,乙渔船以 6 海里/时的速度离开港口 O 向西北方向航行,他们同时出发,一个半小时后,甲、乙两渔船相距( )选:D A12 海里 B13 海里 C14 海里 D15 海里 8下列各组数能作为直角三角形三边长的是( )选:B A1,2,3 B3,4,5 C5,12,17 D32,42,52 9如图,这是用面积为 18 的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”如果大正方形的边长为 9,那么小正

11、方形的边长为( )选:C A1 B2 C3 D4 10如图,AD 是 ABC 的中线,若 ABAC5,BC6,则 AD 的值是( )选 A A4 B3 C2 D2 二填空题二填空题 11如图,一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断,树的顶端落在离树杆底部 4 米处,那么这棵树折断之前的高度是 8 米 12如图所示,李明从家出发向正北方向走了 1200 米,接着向正东方向走到离家 2000 米远的地方,这时,李明向正东方向走了_1600_米. 13 如图, 小明将一张长为 20cm, 宽为 15cm 的长方形纸剪去了一角, 量得 AB=3cm, CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为_2

12、0cm_ 14如图,在 ABC 中,C90 ,AC4,BC2以 AB 为一条边向三角形外部作正方形ABDE,P 为 DE 上一点,则四边形 ACBP 的面积为 14 解:C90 ,AC4,BC2, AB2, 正方形的面积AB2(2)220, S ABPS正方形ABDE10, S ACBACBC 4 24, 四边形 ACBP 的面积S ABP+S ABC10+414, 故答案为:14 15 如图, “赵爽弦图”由 4 个完全一样的直角三角形所围成, 在 Rt ABC 中, ACb, BCa,ACB90 , 若图中大正方形的面积为 60, 小正方形的面积为 10, 则 (a+b)2的值为 110

13、16 如图, 每个小正方形的边长都相等, A, B, C 是小正方形的顶点, 则ABC 的度数为 45 解:如图,连接 AC 由题意,AC,BC,AB, ACBC,AB2AC2+BC2, ABC 是等腰直角三角形,且ACB90 , ABCCAB45 , 故答案为:45 17观察下列勾股数组:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;若 a,144,145 是其中的一组勾股数,则根据你发现的规律,a 17 (提示:5,13,) 解:由题意得:a2+14421452, a214521442, a17 故答案为:17 18某住宅小区有一块草坪如图所示,已知 AB3 米,BC4 米,

14、CD12 米,DA13 米,且 ABBC,这块草坪的面积是 36 米2 三解答题三解答题 19有一块田地的形状和尺寸如图所示,求出它的面积是多少 解:连接 AC, 在 Rt ACD 中,AC 为斜边, 已知 AD4,CD3, 则 AC5, AC2+BC2AB2, ABC 为直角三角形, S四边形ABCDS ABCS ACDACCBADDC24, 答:该四边形面积为 24 20 将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上, 旗杆从旗顶到地面的高度为 320cm, 在无风的天气里,彩旗自然下垂,如右图 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形(单位:cm) 解:如图, 120c

15、m,90cmACBC, 22150cmABACBC, 150cmEM , 320 150 170cmhEFEM 21如图是“弦图”的示意图,“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的,它标志着中国古代的数学成就它由 4 个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形,每个直角三角形的两条直角边分别为 a、b,斜边为 c请你运用此图形证明勾股定理:a2+b2c2 解:由图可知: S正方形4 ab+(ba)2 2ab+b2+a22ab a2+b2 S正方形c2, 所以 a2+b2c2 22. 如图所示,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古

16、通道,现有一辆卡车装满家具后,高 4 米,宽 2.8 米,求这辆送家具的卡车能否通过这个通道. 解:过直径的中点 O 作直径的垂线,交下底边于点 D,如图所示, 在 RtABO 中,由题意知 OA=2,DC=OB=1.4, 所以 AB2=22-1.42=2.04, 因为 4-2.6=1.4,1.42=1.96,2.041.96, 所以卡车可以通过. 23 (1)一位同学从勾股数“3,4,5”中发现,由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法你发现了吗?请你写出以下几组勾股数组: 5, 12 , 13 ;7, 24 , 25 ;9, 40 , 41 ; (2) 写出一般规律的表达方式, (用字母

17、n 表示, n 为正整数) n , , 解: (1); ; ; (2)一般规律的表达方式:n, 24 (1)如图 1,长方体的长为 4cm、宽为 3cm,高为 12cm,现有一只蚂蚁从点 A 处沿长体表面爬到点 G 处,求它爬行的最短路程; (2)如图 2,将题中长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 12cm,底面周长为 10cm,在容器内壁离底部 3cm 的点 B 处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 3cm 的点 A 处,求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少? 解: (1)分三种情况: 把我们看到的左面与上面组成一个长方形,则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是

18、AG(cm) ; 把我们所看到的前面和上面组成一个平面,则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是 AG(cm) ; 把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是 AG(cm) ; , 所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是cm; (2)如图,将容器侧面展开,作 A 关于 EF 的对称点 A,连接 AB,则 AB 即为最短距离 高为 12cm,底面周长为 10cm,在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒,此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿 3cm 与饭粒相对的点 A 处, AD5cm,BD123+312(cm), AB13(cm) 25如图, ABC 中,ACB

19、90 ,AB10cm,BC6cm,若点 P 从点 A 出发,以每秒 2cm的速度沿折线 ACBA 运动,设运动时间为 t 秒(t0) (1)若点 P 在 AC 上,且满足 PAPB 时,求出此时 t 的值; (2)若点 P 恰好在BAC 的角平分线上,求 t 的值 解:(1)连接 PB, ACB90 ,AB10cm,BC6cm, AC8(cm), CP2+BC2PB2, PAPB2tcm, (82t)2+62(2t)2, t; (2)当点 P 在BAC 的平分线上时,如图,过点 P 作 PEAB 于点 E, 此时 BP(142t)cm,PEPC(2t8)cm,BE1082(cm), 在 Rt BEP 中,PE2+BE2BP2, 即:(2t8)2+22(142t)2, 解得:t, 当 t12 时,点 P 与 A 重合,也符合条件, 当 t或 12 时,点 P 恰好在BAC 的平分线上