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第1章特殊的平行四边形 单元测试卷(含答案)2022-2023学年北师大版九年级数学上册

1、 第第 1 章特殊的平行四边形章特殊的平行四边形 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 32 分)分) 1如图,在 RtABC 中,ACB90,ACBC6cm,动点 P 从点 A 出发,沿 AB 方向以每秒cm 的速度向终点 B 运动;同时,动点 Q 从点 B 出发沿 BC 方向以每秒 1cm 的速度向终点 C 运动,将PQC沿 BC 翻折,点 P 的对应点为点 P设 Q 点运动的时间为 t 秒,若四边形 QPCP 为菱形,则 t 的值为( ) A B2 C D3 2如图若要使平行四边形 ABCD 成为菱形则需要添加的条件是( ) AABCD BADBC CABBC DACBD

2、3如图,RtABC 中,DC 是斜边 AB 上的中线,EF 过点 C 且平行于 AB若BCF35,则ACD 的度数是( ) A35 B45 C55 D65 4如图,在矩形 ABCD 中,AB3,AD4,点 P 在 AB 上,PEAC 于 E,PFBD 于 F,则 PE+PF 等于( ) A B C D 5如图,在ABC 中,AB3,AC4,BC5,P 为边 BC 上一动点,PEAB 于 E,PFAC 于 F,则EF 的最小值为( ) A2 B2.2 C2.4 D2.5 6四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,能判定它为正方形的条件是( ) AAOCD BAOCOBODO CAO

3、CO,BODO,ACBD DAOBOCODO,ACBD 7顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形,再顺次连接所得四边形四边中点得到的图形是( ) A等腰梯形 B正方形 C菱形 D矩形 8如图,在边长为 2 的等边三角形 ABC 的外侧作正方形 ABED,过点 D 作 DFBC,垂足为 F,则 DF 的长为( ) A2+2 B5 C3 D +1 二填空题(共二填空题(共 10 小题,满分小题,满分 30 分)分) 9如图,以边长为 1 的正方形的四边中点为顶点作四边形,再以所得四边形四边中点为顶点作四边形,依次作下去,图中所作的第三个四边形的周长为 ;所作的第 n 个四边形的周长为 10如图,菱

4、形 ABCD 的对角线相交于点 O,请你添加一个条件: ,使得该菱形为正方形 11如图,ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形,AC4,BC3,P 为 AB 上一动点,且 PEAC 于 E,PFBC 于 F,则线段 EF 长度的最小值是 12如图是一个矩形桌子,一小球从 P 撞击到 Q,反射到 R,又从 R 反射到 S,从 S 反射回原处 P,入射角与反射角相等 (例如PQARQB等) , 已知AB8, BC15, DP3 则小球所走的路径的长为 13如图,在 RtABC 中,C90,AB10,若以点 C 为圆心,CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点D,则 AC 的长等于 14如图,分别以

5、直角ABC 的斜边 AB,直角边 AC 为边向ABC 外作等边ABD 和等边ACE,F 为 AB的中点,DE 与 AB 交于点 G,EF 与 AC 交于点 H,ACB90,BAC30给出如下结论: EFAC;四边形 ADFE 为菱形;AD4AG;FHBD 其中正确结论的为 (请将所有正确的序号都填上) 15如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 OAC8cm,BD6cm,点 P 为 AC 上一动点,点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发沿 AC 向点 C 运动设运动时间为 ts,当 t s 时,PAB 为等腰三角形 16如图,在正方形 ABCD 外取一点 E,连接 AE

6、、BE、DE过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P若 AEAP1,PB下列结论: APDAEB;点B到直线AE的距离为;EBED;SAPD+SAPB1+;S正方形ABCD4+ 其中正确结论的序号是 17如图,在 34 的矩形方格图中,不包含阴影部分的矩形个数是 个 18如图,在四边形 ABCD 中,ACBD6,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,则 EG2+FH2 三解答题(共三解答题(共 7 小题,满分小题,满分 88 分)分) 19在等腰ABC 中,ABAC8,BAC100,AD 是BAC 的平分线,交 BC 于 D,点 E 是 AB 的中点,连接 DE (1)求

7、BAD 的度数; (2)求B 的度数; (3)求线段 DE 的长 20如图,在ABCD 中,BC2AB4,点 E、F 分别是 BC、AD 的中点 (1)求证:ABECDF; (2)当四边形 AECF 为菱形时,求出该菱形的面积 21如图,ABC 中,BAC90,点 D 是 BC 的中点,AEDC,ECAD,连接 DE 交 AC 于点 O, (1)求证:四边形 ADCE 是菱形; (2)若 ABAO,求 tanOCE 的值 22 如图,ABC 中, 点 O 是边 AC 上一个动点, 过 O 作直线 MNBC 设 MN 交ACB 的平分线于点 E,交ACD 的外角平分线于点 F (1)求证:OEO

8、F; (2)若 CE12,CF5,求 OC 的长; (3)当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四边形 AECF 是矩形?并说明理由 23已知ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,AOB 是等边三角形,AB4cm,求这个平行四边形的面积 24 如图, 四边形 ABCD 是矩形, E 是 BD 上的一点, BAEBCE, AEDCED 求证: 四边形 ABCD是正方形 25已知,如图,矩形 ABCD 中,AD6,DC7,菱形 EFGH 的三个顶点 E,G,H 分别在矩形 ABCD 的边 AB,CD,DA 上,AH2,连接 CF (1)若 DG2,求证四边形 EFGH 为正方形; (2

9、)若 DG6,求FCG 的面积; (3)当 DG 为何值时,FCG 的面积最小 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 32 分)分) 1解:连接 PP交 BC 于 O, 若四边形 QPCP为菱形, PPQC, POQ90, ACB90, POAC, , 设点 Q 运动的时间为 t 秒, APt,QBt, QC6t, CO3, ACCB6,ACB90, AB6, , 解得:t2, 故选:B 2解:因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,对角线互相垂直平分的四边形是菱形, 那么可添加的条件是:ABBC 故选:C 3解:EFAB,BCFB, BCF35

10、, B35, DC 是斜边 AB 上的中线, ADBDCD, BBCD,ACDCAD, ADCB+BCD, ADC70, ACD(18070)55, 故选:C 4解:方法一:设 APx,PB3x EAPEAP,AEPABC; AEPABC,故; 同理可得BFPDAB,故 +得, PE+PF 方法二:(面积法) 如图,作 BMAC 于 M,则 BM, SAOBSAOP+SPOB, AOBMAOPE+OBPF, OAOB, PE+PFBM 故选:B 5解:在ABC 中,AB3,AC4,BC5, AB2+AC2BC2, 即BAC90 又PEAB 于 E,PFAC 于 F, 四边形 AEPF 是矩形,

11、 EFAP 因为 AP 的最小值即为直角三角形 ABC 斜边上的高,即 2.4, EF 的最小值为 2.4, 故选:C 6解:A、不能判定为特殊的四边形; B、只能判定为矩形; C、只能判定为菱形; D、能判定为正方形; 故选:D 7解:等腰梯形的两条对角线相等, 顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形是菱形, 菱形的对角线互相垂直, 再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是矩形 故选:D 8解:方法一:如图,延长 DA、BC 交于点 G, 四边形 ABED 是正方形, BAD90,ADAB, BAG1809090, ABC 是边长为 2 的等边三角形, AB2,ABC60, AGABtanA

12、BC2tan602, DGAD+AG2+2, G906030,DFBC, DFDG(2+2)1+, 故选 D 方法二:如图,过点 E 作 EGDF 于点 G,作 EHBC 于点 H, 则BHEDGE90, ABC 是边长为 2 的等边三角形, AB2,ABC60, 四边形 ABED 是正方形, BEDE2,ABEBED90, EBH180ABCABE180609030, EHBEsinEBH2sin3021,BHBEcosEBH2cos30, EGDF,EHBC,DFBC, EGFEHBDFH90, 四边形 EGFH 是矩形, FGEH1,BEH+BEGGEH90, DEG+BEG90, BE

13、HDEG, 在BEH 和DEG 中, , BEHDEG(AAS), DGBH, DFDG+FG+1, 故选:D 二填空题(共二填空题(共 10 小题,满分小题,满分 30 分)分) 9解:根据三角形中位线定理得,第一个四边形的边长为,周长为 2, 第二个四边形的周长为4, 第三个四边形的周长是:4()3, 第 n 个四边形的周长为 4()n, 故答案为,4()n 10解:根据对角线相等的菱形是正方形,可添加:ACBD; 根据有一个角是直角的菱形是正方形,可添加的:ABBC; 故添加的条件为:ACBD 或 ABBC 11解:连接 PC PEAC,PFBC, PECPFCC90; 又ACB90,

14、四边形 ECFP 是矩形, EFPC, 当 PC 最小时,EF 也最小, 即当 CPAB 时,PC 最小, AC4,BC3, AB5, ACBCABPC, PC 线段 EF 长的最小值为; 故答案是: 12解:入射角与反射角相等, BQRAQP,APQSPD,CSRDSP,CRSBRQ, 四边形 ABCD 是矩形, ABCD90, DPS+DSP90,AQP+APQ90, DSPAQPCSRBQR, RSPRQP, 同理SRQSPQ, 四边形 SPQR 是平行四边形, SRPQ,PSQR, 在DSP 和BQR 中 DSPBQR, BRDP3,BQDS, 四边形 ABCD 是矩形, ABCD8,

15、BCAD15, AQ8DS,AP15312, SPDAPQ, SDPQAP, , DS, 在 RtDSP 中,由勾股定理得:PSQR, 同理 PQRS, QP+PS+SR+QR2+234, 故答案为:34 13解:如图,C90,点 D 为 AB 的中点, AB2CD10, CD5, BCCD5, 在 RtABC 中,AC5 故答案为:5 14解:ACE 是等边三角形, EAC60,AEAC, BAC30, FAEACB90,AB2BC, F 为 AB 的中点, AB2AF, BCAF, ABCEFA, FEAB, AEFBAC30, EFAC,故正确, EFAC,ACB90, HFBC, F

16、是 AB 的中点, HFBC, BCAB,ABBD, HFBD,故说法正确; ADBD,BFAF, DFB90,BDF30, FAEBAC+CAE90, DFBEAF, EFAC, AEF30, BDFAEF, DBFEFA(AAS), AEDF, FEAB, 四边形 ADFE 为平行四边形, AEEF, 四边形 ADFE 不是菱形; 故说法不正确; AGAF, AGAB, ADAB, 则 AD4AG,故说法正确, 故答案为: 15解:四边形 ABCD 是菱形,AC8cm,BD6cm, ACBD,AOOC4cm,BOOD3cm, 由勾股定理得:BCABADCD5cm, 分为三种情况:如图 1,

17、当 PAAB5cm 时,t515; 如图 2,当 P 和 C 重合时,PBAB5cm,t818; 如图 3,作 AB 的垂直平分线交 AC 于 P,此时 PBPA,连接 PB, 在 RtBOP 中,由勾股定理得:BP2BO2+OP2, AP232+(4AP)2, AP; t1, 故答案为:5 或 8 或 16解:EAB+BAP90,PAD+BAP90, EABPAD, 又AEAP,ABAD, 在APD 和AEB 中, , APDAEB(SAS); 故此选项成立; APDAEB, APDAEB, AEBAEP+BEP,APDAEP+PAE, BEPPAE90, EBED; 故此选项成立; 过 B

18、 作 BFAE,交 AE 的延长线于 F, AEAP,EAP90, AEPAPE45, 又中 EBED,BFAF, FEBFBE45, 又BE, BFEF, 故此选项不正确; 如图,连接 BD,在 RtAEP 中, AEAP1, EP, 又PB, BE, APDAEB, PDBE, SABP+SADPSABDSBDPS正方形ABCDDPBE(4+)+ 故此选项不正确 EFBF,AE1, 在 RtABF 中,AB2(AE+EF)2+BF24+, S正方形ABCDAB24+, 故此选项正确 故答案为: 17解:第一行有 1 个矩形,第二行有 1 个矩形,第三行有 6 个, 第一列有 3 个,第二列

19、有 1 个,第四列有 3 个, 那么共有 1+1+6+3+1+315 个, 图中还有 11 个正方形,因为正方形也是矩形的一种, 因此共有 26 个矩形 故答案为 26 18解:如右图,连接 EF,FG,GH,EH, E、H 分别是 AB、DA 的中点, EH 是ABD 的中位线, EHBD3, 同理可得 EF,FG,GH 分别是ABC,BCD,ACD 的中位线, EFGHAC3,FGBD3, EHEFGHFG3, 四边形 EFGH 为菱形, EGHF,且垂足为 O, EG2OE,FH2OH, 在 RtOEH 中,根据勾股定理得:OE2+OH2EH29, 等式两边同时乘以 4 得:4OE2+4

20、OH29436, (2OE)2+(2OH)236, 即 EG2+FH236 故答案为:36 三解答题(共三解答题(共 7 小题,满分小题,满分 88 分)分) 19解:(1)AD 是BAC 的平分线, BADCAD, BAC100, BAD50; (2)ABAC, BC, ; (3)ABAC,AD 平分BAC, AD 是等腰ABC 底边 BC 上的高,即ADB90 在直角三角形 ABD 中,点 E 是 AB 的中点, DE 为斜边 AB 边上的中线, DE 20(1)证明:在ABCD 中,ABCD, BCAD,ABCCDA 又BEECBC,AFDFAD, BEDF ABECDF (2)解:四边

21、形 AECF 为菱形, AEEC 又点 E 是边 BC 的中点, BEEC,即 BEAE 又BC2AB4, ABBCBE, ABBEAE,即ABE 为等边三角形,如图, 过点 A 作 AHBC 于 H, BHBE1, 根据勾股定理得,AH 菱形 AECF 的面积为 2 21(1)证明:AEDC,ECAD, 四边形 ADCE 是平行四边形, BAC90,点 D 是 BC 的中点, ADBDCD, 平行四边形 ADCE 是菱形; (2)解:四边形 ADCE 是菱形, EOC90,AOCO,ACEACD, tanACB, tanOCE 22(1)证明:MN 交ACB 的平分线于点 E,交ACD 的外

22、角平分线于点 F, 25,46, MNBC, 15,36, 12,34, EOCO,FOCO, OEOF; (2)解:25,46, 2+45+690, CE12,CF5, EF13, OCEF6.5; (3)解:当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形 证明:当 O 为 AC 的中点时,AOCO, EOFO, 四边形 AECF 是平行四边形, ECF90, 平行四边形 AECF 是矩形 23解:四边形 ABCD 是平行四边形, AOOCAC,BOODBD, AOB 是等边三角形, AOBO ACBD 平行四边形 ABCD 是矩形, 在 RtABC 中, AB4cm

23、,AC2AO8cm, BC4cm, S平行四边形ABCDABBC4cm4cm16cm2 24证明:CED 是BCE 的外角,AED 是ABE 的外角, CEDCBE+BCE,AEDBAE+ABE, BAEBCE,AEDCED, CBEABE, 四边形 ABCD 是矩形, ABCBCDBAD90,ABCD, CBEABE45, ABD 与BCD 是等腰直角三角形, ABADBCCD, 四边形 ABCD 是正方形 25解:(1)四边形 ABCD 为矩形,四边形 HEFG 为菱形, DA90,HGHE,又 AHDG2, RtAHERtDGH(HL), DHGHEA, AHE+HEA90, AHE+DHG90, EHG90, 四边形 HEFG 为正方形; (2)过 F 作 FMDC,交 DC 延长线于 M,连接 GE, ABCD, AEGMGE, HEGF, HEGFGE, AEHMGF, 在AHE 和MFG 中,AM90,HEFG, AHEMFG, FMHA2,即无论菱形 EFGH 如何变化,点 F 到直线 CD 的距离始终为定值 2, 因此; (3)设 DGx,则由第(2)小题得,SFCG7x,在AHE 中,AEAB7, HE253, x2+1653, x, SFCG的最小值为,此时 DG, 当 DG时,FCG 的面积最小为()