1、高阶线性微分方程 第六节 二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, xxo解解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力
2、 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 据牛顿第二定律得 ,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程: 0dd2dd222xktxntx阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 作用，t pHFsin，令mhH则得强迫振动方程: t phxktxntxsindd2dd222n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为 方程的共性 为二阶线性微分方程. 例例1 , )()()(xfyxqyxpy 可归结为同一形式: )()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.
3、 复习复习: 一阶线性方程 )()(xQyxPy通解: xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解 齐次方程通解Y y0)(xf二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 )(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程 0)()( yxQyxPy的两个解, 也是该方程的解. (叠加原理) )()(2211xyCxyCy则定理定理1. 说明说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 )()(2211xyCxyCy则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义定义: )(,
4、),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关. 例如， 在( , )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关线性无关. 若存在不全为不全为 0 的常数 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 1221)()(kkxyxy( 无妨设 )01k线性无关 )()(21xyxy常数 思考思考: 中有一个恒为 0,
5、则 必线性 相关相关 定理定理 2. 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 )()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解. 例如例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 )(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程 的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解, 定理定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 例如例如, 方程 有特解 xCxCYsincos21对应齐次方程 有通解 因此该方程
6、的通解为 定理定理 4. 分别是方程 的特解, 是方程 ),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk )()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 定理定理 5. 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程 )()(xyxY是非齐次方程的特解, 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数, 则该方程的通解是 ( ). 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 )()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意 ;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD例例2. 提示提示: 3231,yyyy都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证) 例例3. 已知微分方程 )()()(xfyxqyxpy 个解 ,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件 3)0(, 1)0(yy的特解 . 解解: 1312yyyy与是对应齐次方程的解, 且 xexeyyyyxx21312常数 因而线性无关, 故原方程通解为 )()(221xeCxeCyxx代入初始条件 , 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解为 有三