1、齐次方程 第三节 一、齐次方程一、齐次方程 一、齐次方程一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程齐次方程 . 令 ,xyu 代入原方程得 )(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得 xxuuud)(d积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 例例1. 解微分方程 .tanxyxyy解解: ,xyu 令,uxuy则代入原方程得 uuuxutan分离变量 xxuuuddsincos两边积分 xxuuuddsincos得 ,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为 xCxysin( C 为任意常数 ) 例例2. 解微分方程 解解: ,2dd2xyxyxy方
2、程变形为,xyu 令则有 22uuuxu分离变量 xxuuudd2积分得 ,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解 即 Cuux )1(yCxyx )(C 为任意常数) oyx可得 OMA = OAM = 例例3. 在制造探照灯反射镜面时, 解解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 xycotxyy22yxOMTMAPy取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM OPAP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO
3、 于是得微分方程 : xyy22yx 利用曲线的对称性, 不妨设 y 0, ,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得 故有 1222CvyCy得 )2(22CxCy (抛物线) 221)(vvCy故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程) ( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程 )0(212cc,. 111时当bbaa作变换 kYyhXx,dd,ddYyXx则原方程化为 ckbha111ckbha令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数), 求出其解后, 即得原方 程的解. ,. 211时当bbaa原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令 , ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程) 注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 )0(212cc)0( b例例4. 求解 解解: 04kh令 ,5, 1YyXxYXYXXYdd得 再令 YX u , 得 令 06 kh5, 1kh得XXuuudd112积分得 uarctan)1(ln221uXCln代回原变量, 得原方程的通解: 15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC得 C = 1 , 故所求特解为 思考思考: 若方程改为 如何求解? 提示提示: