1、一阶线性微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程二、伯努利方程 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: )()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 CxxPylnd)(ln故通解为 xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程 ; 对应齐次方程通解 xxPeCyd)(齐次方程通解 非齐次方程特解 xxPCed)(2. 解非齐次方程 )()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法: ,)()(d)(xxPexuxy则 xxPe
2、ud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解 xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即 即 作变换 xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得 例例1. 解方程 解解: 先解 ,012ddxyxy即 1d2dxxyy积分得 即 2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解. 令 ,) 1()(2xxuy则 ) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得 解得 Cxu23) 1(32故原方程通解为 例例2. 求方程 的通解 . 232/ xxyxy例例3. 求方程 的通解. 内容小结内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 思考与练习思考与练习 判别下列方程类型: xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)() 3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxy提示提示: xxyyydd1 可分离 变量方程 xyxyxylndd齐次方程 221dd2xyxxy线性方程 221dd2yxyyx线性方程
