1、第二节 一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质 二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, ABLxy求移 cosABFW “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 常力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF1kM
2、kMABxy1) “大化大化小小”. 2) “常代变常代变” L把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 kkkkyQxP),(),(kk所做的功为 F 沿 kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则 用有向线段 上任取一点 在 kykx3) “近似和近似和” 4) “取极限取极限” nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 2. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑 弧弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任
3、意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分坐标的曲线积分, LyyxQxyxPd ),(d ),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数 或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中, L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 . 称为被积函数被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 LxyxPd ),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 为空间曲线弧 , 记 称为对坐标 x 的曲线积分; 称为对坐标y 的曲线积分. 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 )d,(ddyxs LLyyxQxyx
4、PsFd ),(d ),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF)d,d,(ddzyxs 类似地, 3. 性质性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 LyyxQxyxPd ),(d ),(kiLiyyxQxyxP1d ),(d ),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则 LyyxQxyxPd ),(d ),(则 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 ! 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法 定理定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 )()(tytx,:t则曲线积
5、分 )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续, 存在, 且有 0)()(22tt且特别是, 如果 L 的方程为 ,:),(baxxy则 xxxQxxPbad )(,)(,)(x对空间光滑曲线弧 : 类似有 )(t)(t)(t)(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx例例1. 计算 ,dLxyx其中L 为沿抛物线 xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则 OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd54d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数, 则 从点 的一段. ) 1, 1 ()1
6、, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2. 计算 其中 L 为 ,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为 xyLd232a(2) 取 L 的方程为 ta202sinttad )sin(132334a则 则 next yxo例例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 (3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式 xx d4103(2) 原式 yyy222(3) 原式
7、 102d )002(xxx)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(yyd )410d )102(yynext 例例4. 设在力场 作用下, 质点由 沿移动到 解解: (1) ttkR2022d)(2) 的参数方程为 ABzzyxxydddktt20dBAzyx试求力场对质点所作的功. 其中为 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为 则两类曲线积分有如下联系 LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是 zRyQxPdddsRQPdcoscosc
8、os例例5. . 将积分 化为对弧长的积 分, 解：解： oyxByyxQxyxPLd),(d),(22xx)1(x其中L 沿上半圆周 1. 定义 kkkknkyQxP),(),(limkk102. 性质 (1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧 iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧 LyyxQxyxPd ),(d ),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向! 内容小结内容小结 3. 计算 ,)()(:tytxL: ttttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧 baxxyL:, )(:xxxQxxPbad
9、)(,)(,)(x:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系 LyQxPddzRyQxPddd)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧 : )0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz1. 已知 为折线 ABCOA(如图), 计算 提示提示: 001d)1 (yy10dx2)211 ( 101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd2. 解解: zxoyABzk222zyxkzjyi xzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 t
10、y1tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(A线移动到 , )2,4,4(B向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比. 沿直 sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指 一质点在力场F 作用下由点 3. 设曲线C为曲面 与曲面 从 ox 轴正向看去为逆时针方向, (1) 写出曲线 C 的参数方程 ; (2) 计算曲线积分 解解: (1) (2) 原式 = 令 利用“偶倍奇零” ozyx例例5. 求 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解解: 取 的参数方程 ,sin,costytx)02:(sincos2tttztttcos)sincos22(tt d)cos41 (2202