1、函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性 * *第六节第六节 一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质及一致收敛级数的基本性质 二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛域内的性质类似于多项式, 但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点. 例如例如, 级数 )()()(1232nnxxxxxxx每项在 0,1 上都连续, 其前 n 项之和为 ,)(nnxxS和函数 )(lim)(xSxSnn10 x, 01x, 1该和函数在 x1
2、 间断. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为对任意 x 都有: ),2, 1(1sin222nnnxn所以它的收敛域为 (, +) , 但逐项求导后的级数 xnxx22cos2coscos其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 . 又如又如, 函数项级数 问题问题: 对什么样的函数项级数才有: 逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设 S(x) 为 )(1xunn若对 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有 )()()(xSxSxrnn则称该级数在区
3、间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 在区间 I 上的和函数, 任意给定的 0, 显然, 在区间 I 上 )(1xunn一致收敛于和函数S(x) 部分和序列 )(xSn一致收敛于S(x) 余项 )(xrn一致收敛于 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何解释几何解释 : (如图) )(xSy)(xSyIx)(xSy , 0,ZN当n N 时, 表示)()(xSxSn曲线 )()(xSyxSy与总位于曲线 )(xSyn)(xSyn之间. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 研究级数 ) 1)(1) 3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在区间 0, +) 上的收敛性. 解解
4、: 111) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(lim)(xSxSnn)1111(limnxxn11x)0( x余项的绝对值: )()()(xSxSxrnn11nx11n)0( x因此, 任给 0, 取自然数 ,11N则当n N 时有 )0()(xxrn这说明级数在 0, +) 上一致收敛于 .11)(xxS机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明级数 )()()(1232nnxxxxxxx在 0,1 上不一致收敛 . 证证: nnnnxxxxxxxS)()()
5、(12)(xS10 x, 01x, 1)()()(xSxSxrnn10 x,nx1x, 0取正数 ,21对无论多么大的正数 N , ,)(11210Nx取, 1, 00 x,)(2101xrN而因此级数在 0, 1 上不 一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox说明说明: 11nnnxxS)()(xS10 x, 01x, 12n4n10n30n) 1 , 1 ()(xS对任意正数 r 0, 欲使 ,nr只要 ,lnlnrn因此取 ,lnlnrN只要 ,Nn ,)(nnrxr必有即级数在 0, r 上一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯(We
6、ierstrass) 判别法判别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出 ),()(xSxSn及这往往比较困难. 下面介绍一个较方便的 判别法. 若函数项级数 )(1xunn在区间 I 上满足: ; ),2, 1()() 1naxunn,)21收敛正项级数nna则函数项级数 )(1xunn在区间 I 上一致收敛 . 简介 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 由条件2), 根据柯西审敛原理, ,0N当 n N 时, 对任意正整数 p , 都有 221pnnnaaa由条件1), 对 x I , 有 )()()(21xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnna
7、aa则由上式得令,p2)(xrn故函数项级数 )(1xunn在区间 I 上一致收敛 . 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxRRab推论推论. 若幂级数 nnnxa0的收敛半径 R 0 , 则此级 数在 (R, R ) 内任一闭区间 a , b 上一致收敛 . 证证: ,maxbar 设则对 a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0(nraxannnn,0Rr 而由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 nnnra0绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 说明说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛 区间可包含此端点. 证毕 机动 目录 上页 下页 返回
8、结束 例例3. 证明级数 在(, +) 上 一致收敛 . 证证: ),(x因对任意而级数 021nn收敛, 由维尔斯特拉斯判别法知所给级数 在 (, +) 上 一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收 敛性, 而且能判别其绝对收敛性. 当不易观察到不等式 时，nnaxu)(可利用导数求 )(maxxuanIxn例如例如, 级数 ,1251xnxnn), 0 x,12111max232525), 0nnuxnxnann用求导法可得 已知 2311nn收敛, 因此原级数在0, +) 上一致收敛 . ,1)(25xnxnxun机动 目录
9、上页 下页 返回 结束 二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质 定理定理1. 若级数 :)(1满足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间.,)(上连续在则baxS证证: 只需证明 , ,0bax . )()(lim00 xSxSxx由于 )()(0 xSxS)()()()(00 xrxSxrxSnnnn)()()()(00 xrxrxSxSnnnn;,)() 1上连续在区间各项baxun机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为级数 )(1xunn一致收敛于S (x) , N, 0故),(N使当 n N 时, 有 3)(,3)(0 xrxrnn对这样选定的
10、n , ,)(0连续在xxSn从而必存在 0 , 有时当,0 xx3)()(0 xSxSnn从而得 )()(0 xSxS,)(0连续在故xxS).()(lim00 xSxSxx即证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数, 极限运算与无限 求和运算可交换, 即有 )(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如例如, 级数 ) 1() 1() 1(12xxxxxxxn在区间 0 , 1 上处处收敛, 而其和函数 )(xS10 x, 01x, 1在 x = 1 处不连续 . 机动
11、 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 若级数 :)(1满足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间则该级数在 a, b 上可逐项积分, xxuxxSnxxnxxd)(d)(001,0bxxa即对且上式右端级数在 a, b 上也一致收敛 . 证证: 因为 xxukxxnkd)(01xxSxxunxxknkxxd)(d)(001;,)() 1上连续在区间各项baxun机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以只需证明对任意 ),(,00 xxbaxx一致有 xxSxxSxxnxxnd)(d)(lim00 根据级数的一致收敛性, ),(, 0NN 使当 n N 时, 有
12、abxSxSn)()(于是, 当 n N 时, 对一切 ),(,00 xxbaxx有 xxSxxSxxnxxd)(d)(00 xxSxSnxxd)()(0 xxSxSnbad)()(因此定理结论正确. 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如例如, 级数 2222) 1(221) 1(22xnxnnexnexn它的部分和 因此级数在 0 , 1 上 收敛于 S (x) = 0 , 所以 .0d)(10 xxS但是 xexnexnxnxnnd) 1(222222) 1(2211022) 1(1nnnee110)(dxxS 为什么对级数
13、定理结论不成立? 分析它是否满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 条件. 级数的余项 2222)(xnnexnxr,10时当nx )2(12)(0nenxrn可见级数在 0, 1 上不一致收敛 , 此即定理2 结论 对级数不成立的原因. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 若级数 满足：)(1xunn,)() 31上一致收敛在级数baxunn)()(1xuxSnn且可逐项求导, 即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上连续在,)(1上一致收敛在区间则baxunn; )(,) 1xSba上收敛于在区间证证: 先证可逐项求导. ),()(1xxunn设根据定理2,
14、机动 目录 上页 下页 返回 结束 有对, ,baxxxuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(aSxS上式两边对 x 求导, 得 ).()(xxS再证 .,)(1上一致收敛在baxunn根据定理 2 , ,d)(1上一致收敛在级数baxxunxan而 xxunxand)(1)()(11auxunnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以 .,上一致收敛在ba级数一致收敛并不保证可以逐项求导. 例如, 例3中的级数 说明说明: 在任意区间上都一致收敛, 但求导后的级数 xnxx22cos2
15、coscos其一般项不趋于 0, 所以对任意 x 都发散 . 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明函数 31sin)(nnxxfn对任意 x 有连续导数. 解解: 显然所给级数对任意 x 都收敛 , 且每项都有连续 导数, 而逐项求导后的级数 31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收敛nn故级数在 (,+) 上一致收敛, 故由定理3可知 .cos)(21nnxxfn 再由定理1可知 .),()(上连续在 xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4 . 若幂级数 的收敛半径 nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnx
16、nnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同,即 证证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯 特拉斯判别法的推论及定理 1, 2 立即可得 . 下面证明逐项可导的结论: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: .),(10内收敛在先证级数RRxannnn),(RRx任取,11Rxxx使再取定, 11xxq记则 1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxqn1111由比值审敛法知级数 ,10收敛nnqn故 , 0lim1nnqn,1有界因此nqn故存在 M 0 , 使得 ),2
17、, 1(111nMqnxn,01Rx 又,10收敛级数nnnxa由比较审敛法可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .11收敛级数nnnxan),(11RRxannnn在因为幂级数,ba上一致收敛, 故原级数 ,0baxannn在内任一闭区间 上满足定理3条件, 从而可逐项求导, ,的任意性再由ba即知 ),(,110RRxxanxannnnnn再证级数 11nnnxan的收敛半径 .RR 由前面的证明可知 .RR 若将幂级数 在11nnnxan机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(, 0上逐项积分Rxx,1nnnxa得级数的收敛半径不会缩小, .RR 因逐项积分所得 .RR 于是幂级数 nnnxa0(R, R ) 内有任意阶导数, 且有 knnknkxaknnnxS) 1() 1()()(),2, 1(k其收敛半径都为 R . 推论推论. 的和函数 S (x) 在收敛区间 证毕 作业作业 P237 1; 3(2); 4(2), (4), (5) 第七节 目录 上页 下页 返回 结束