1、第七节 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容主要内容: 一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 MMM 平面曲线的曲率 第三三章 一、一、 弧微分弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 )(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx则弧长微分公式为 tyxsdd22 xysd)(1d2或 22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT几何意义几何
2、意义: sdTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示: )()(tyytxx二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 ,s对应切线 ,定义 弧段 上的平均曲率 ssKMMs点 M 处的曲率 sKs0limsdd注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为 例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解解: 如图所示 , RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . sRMM有曲率近似计算公式 ,1时当 yytan)22(设yarctan得xyd)a
3、rctan(d 故曲率计算公式为 sKdd23)1(2yyK yK 又 曲率曲率K 的计算公式的计算公式 )(xfy 二阶可导, 设曲线弧 则由 说明说明: (1) 若曲线由参数方程 )()(tyytxx给出, 则 23)1(2yyK (2) 若曲线方程为 , )(yx则 23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 例例2. 我国铁路常用立方抛物线 361xlRy 作缓和曲线, 处的曲率. 说明说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 . 例例2.
4、 我国铁路常用立方抛物线 361xlRy 作缓和曲线, 且 l R. 处的曲率. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点 解解: ,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然 ;00 xKRKlx1221xlRy RByox361xlRy l三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 Tyxo),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 KRDM1把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 内容小结内容小结 1. 弧长微分 xysd1d2或 22)(d)(ddyxs2. 曲率公式 sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆 曲率半径 KR1yy 23)1 (2