1、二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第三三章 特点: )(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立 )(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf以直代曲以直代曲 0 x)(1xp在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? xx 的一次多项式 1. 求求 n 次近似多项式次近似多项式 要求要求: )(0!212xpan , )(0 xf ,)(
2、0)(!1xpannnn)(0)(xfn故 )(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令 )(xpn则 )(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann0annxxaxxaxxa)()()(020201)0(之间与在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余项估计余项估计 )()()(xpxfxRnn令 (称为余项) , )(0 xRn)(0 x
3、Rn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()() 1(nRnn则有 )(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x)()()(xpxfxRnn)0(之间与在xx,0)() 1(xpnn10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()() 1() 1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)() 1(0)0(之间与在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn公式 称为 的 n 阶泰勒公
4、式阶泰勒公式 . 公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 . 泰勒中值定理泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 )(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn 其中 10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR 则当 )0(之间与在xx公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 )(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到 特例特例: (1) 当 n =
5、0 时, 泰勒公式变为 )(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 )(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见 误差 )(xf)(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式）公式 . , ) 10(,00 xx则有 )0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取 )(xf)
6、(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)() 1(Mxfn则有误差估计式 1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上 由此得近似公式 二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 ,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中 )sin( x)()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中 )(2xRm)s
7、in(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm! )2(2mxm类似可得 xcos1!22x!44x)(12xRm其中 )(12xRm! )22(m) 1(cos) 1(1mxm) 10(m) 1(22mx)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中 )(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n已知 )1ln(xx22x33xnxn)(xR
8、n其中 )(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得 )()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差 1! ) 1()(nnxnMxRM 为 )() 1(xfn在包含 0 , x 的某区间上的上界. )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(2. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 内容小结内容小结 1. 泰勒公式泰勒公式 其中余项 )(0nxxo当 00 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式 . )(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ( P140 P142 ) ,xe, )1ln(x,sinx,cosx)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (3) 其他应用 求极限. (2) 利用多项式逼近函数 , xsin例如思考与练习思考与练习 计算 )(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解: 原式