1、第四节 一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 若 定理定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 , )0)( xf(递减) . 证证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕 例例1. 确定函数 的单调区间. 解解: 12186)(2xxxf)2)(1(6xx令 ,0)( xf得 2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故 的单调增单调增区间为 , ) 1,()
2、;,2(的单调减单调减区间为 ).2,1 (12xoy12yxo说明说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, yox3xy 例例2. 证明 时, 成立不等式 证证: 令 ,2sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0从而 因此 且 证证 例3 证明：当x1时， AB定义定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线凹凸分界点 称为拐点拐点 . 图形是凸凸的 . yox2x1x
3、221xx yox1x221xx 2xyox二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点 定理定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . 设函数 在区间I 上有二阶导数 例例4. 判断曲线 的凹凸性. 解解: ,43xy 故曲线 在 上是向上凹的. 说明说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 )(xf 在 两侧异号异号, 0 x则点 )(,(00 xfx是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, xyo例例5
4、. 求曲线 的拐点. 解解: ,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在 0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 )(3632xx例例6. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解解: 1) 求 y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标 令 0 y得 ,03221xx对应 3) 列表判别 271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在 )0,(),(32及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ),(271132均为拐点. 上在),0(32凹 凹 凸 32) 1 , 0(),(271132内容小结内容小结 1. 可导函数单调性判别 Ixxf,0)(在 I 上单调递增 Ixxf,0)(在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 Ixxf ,0)(Ixxf ,0)(+ 拐点 连续曲线的凹凸分界点 . ),(21)1,(2121e1. 曲线 21xey的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示提示: )21 (222xeyx ),(2121),(21及及 ; ;