1、二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节 函数的极值与 最大值最小值 第三三章 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 定义定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点极大点 , 称 为函数的极大值极大值 ; (2) 则称 为 的极小点极小点 , 称 为函数的极小值极小值 . 极大点与极小点统称为极值点极值点 . 注意注意: 3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点 52,xx为极小点 3x不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 31292)(23xxxxf
2、例如例如 (P146例例4) 为极大点 , 是极大值 是极小值 为极小点 , 12xoy12定理定理 1 (极值第一判别法极值第一判别法) ,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在去心邻域 内有导数, ,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” , ;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” , .)(0取极大值在则xxf例例1. 求函数求函数 的极值 . 解解: 1) 求导数 32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点 令 ,0)( xf得 ;521x令 ,)( xf得 02x3) 列表判别 x)(xf )(xf0520033
3、. 0)0,(),0(52),(52是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 定理定理2 (极值第二判别法极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证证: (1) )(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在 ,0,00时当xx时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知 .)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 . 例例2. 求函数 的极值 . 解解: 1) 求导数 ,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2
4、) 求驻点 令 ,0)( xf得驻点 1,0, 1321xxx3) 判别 因 ,06)0( f故 为极小值 ; 又 ,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别. 1xy1二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点极值点或端点端点处达到 . 求函数最值的方法求函数最值的方法: : (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 maxM, )(af)(bf最小值 特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大
5、值点或最小值点 . (小) )1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例3. 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解解: 显然 且 , )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx2, 1,0321xxx故函数在 0 x取最小值 0 ; 在 1x及 25取最大值 5. , )2)(1(6xx, )2)(1(6xx251241因此也可通过 例例3. 求函数 说明说明: )()(2xfx )(x求最值点. )(xf与 最值点相同 , 由于 )(x令 在闭区间 上的最大值和最小值 . (
6、 k 为某一常数 ) 例例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 D 点应如何选取? 20 AB100C解解: 设 ,(km)xAD x则 ,2022xCD, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令 得 又 所以 为唯一的 15x极小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 . 总运费 物从B 运到工厂C 的运费最省, 从而为最小点 , 问 DKm , 公路, 用开始移动, F例例5. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上
7、 , 受力 作 P解解: 克服摩擦的水平分力 正压力 cosF)sin5(Fg即 ,sincos5gF, 02令 sincos)(则问题转化为求 )(的最大值问题 . 为多少时才可使力 设摩擦系数 问力 与水平面夹角 的大小最小? sincos)( 令 解得 ,0)( 而 因而 F 取最小值 . 解解: FP即 令 则问题转化为求 的最大值问题 . ,sincos5gF, 02sincos)()(清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m , 例例6. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 x4 . 18 . 1解解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则 x8 . 14
8、. 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令 ,0得驻点 ),0(4 . 2x根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 唯一, 驻点又 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 . 问观察者在距墙多远处看图才最 内容小结内容小结 1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正正变负负 为极大值 过 由负负变正正 为极小值 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应
9、用题可根据问题的实际意义判别 . 思考与练习思考与练习 2. 连续函数的最值 1. 设 , 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ). )()(xfA的导数存在 , ；且0)( af)()(xfB取得极大值 ; )()(xfC取得极小值; )()(xfD的导数不存在. B 提示提示: 利用极限的保号性 . 2. 设 )(xf在 0 x的某邻域内连续, 且 ,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点 0 x处 ).()(xf(A) 不可导 ; (B) 可导, 且 ;0)0( f(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . D 提示提示: 利用极限的保号性 . 3. 设 )(xfy 是方程 042 yyy的一个解, 若 ,0)(0 xf且 ,0)(0 xf则 )(xf在 )(0 x(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示提示: 0)(4)(00 xfxfA 试问 为何值时, axxaxf3sin31sin)(32x在 时取得极值 , 还是极小. 解解: )(xf由题意应有 )32(f2 a又 )(xf)(xf取得极大值为 3)(32fEx: 1. )32( 3cos)32cos(a,3sin3sin2xx求出该极值, 并指出它是极大