1、第三章 中值定理中值定理 应用应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广推广 微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理 第一节 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 费马费马(fermat)引理引理 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理 且 存在 )(或证证: 设 则 00 xyo0 x证毕 罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理 满足: (1) 在区间 a , b 上连续 (2) 在区间 (a , b)
2、 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 . 0)(fxyoab)(xfy 证证: 故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 . 0)(f注意注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, x1yo则由费马引理得 x1yo1x1yo使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 )(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示
3、证明提示: 设 证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . 例例1. 证明方程 , 15)(5xxxf, 0)(0 xf有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证证: 1) 存在性 . 则 )(xf在 0 , 1 连续 , 且 由零点定理知存在 , ) 1 ,0(0 x使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 , 之间在10, xx至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在区间 a , b 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点
4、使 .)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 a , b 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证证: 问题转化为证 )(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . , )(babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 0由 的任意性知, 在 I 上为常数 . ) 10()(0 xxxf
5、y令 则 例例2. 证明等式 证证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证自证: ),(x,2cotarcarctanxx经验经验: 欲证 Ix时 ,)(0Cxf只需证在 I 上 , 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使例例3. 证明不等式 证证: 设 , )1ln()(ttf中值定理条件, 即 因为 故 . )0()1ln(1xxxxx因此应有 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析: 及 (1) 在闭区间 a , b 上连续 (2) 在开区间 ( a , b )
6、内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 使 .)()()()()()(FfaFbFafbf满足 : )()(aFbF)(abFba0要证 )()()()()()()(xfxFaFbFafbfx证证: 作辅助函数 )()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且 使 即 由罗尔定理知, 至少存在一点 .)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? ),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF两
7、个 不 一定相同 错错! ! 上面两式相比即得结论. 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义: )(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意: xyo弦的斜率 切线斜率 )0() 1 (FF例例4. 设 ,)(2xxF至少存在一点 使 证证: 结论可变形为 设 则 )(, )(xFxf在 0, 1 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使 )(F01即 证明 内容小结内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 )()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分
8、中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键关键: 利用逆向思维 设辅助函数 费马引理 思考与练习思考与练习 1. 填空题填空题 1) 函数 在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 ._2) 设 有 个根 , 它们分别在区间 34153)4, 3(, )2, 1 (, ) 3,2(上. 方程 2. 设 ,0)(Cxf且在 ),0(内可导, 证明至少存 在一点 , ),0(使 .cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证 即 0sin)(xxxf验证 )(xF在 ,0上满足罗尔定理条件. 设 xxfxFsin)()(3. 若
9、)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有 )()(xfxf的零点. 提示提示: 设 ,0)()(2121xxxfxf欲证: , ),(21xx使 0)()(ff只要证 0)()(ffee亦即 0 )(xxxfe作辅助函数 , )()(xfexFx验证 )(xF在 ,21xx上满足 罗尔定理条件. 提示提示: 题15. )0(f 0)0(f0题14. 考虑 柯西柯西(1789 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积 分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .
10、 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , Ex: 求证存在 , ) 1 ,0(使 1. 设 1 , 0可导，且 ,0) 1 (f在 连续， ) 1 ,0()(xf证证： )()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在 显然 )(x在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0)(即 设辅助函数 使得 )()(1ffnnn00)0(,0)( fxf设 证明对任意 0, 021xx有 )()()(2121xfxfxxf证证： 210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx2. 不妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x