1、二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 若 ,0nu1nnu定理定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , 部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证证: “ ” “ ” 定理定理2 (比较审敛法比较审敛法) 设 且 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个
2、正项级数, (n=1,2,3) 例例1. 讨论 p 级数 pppn131211(常数 p 0) 的敛散性. 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 ,ZN对一切 ,Nn 证明级数 发散 . 证证: 因为 2) 1(1) 1(1nnn而级数 21kk发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例例2.2. 定理定理3. (比较审敛法的极限形式) ,limlvunnn则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l = 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l 时, 是两个正项级数正项级数, (1) 当 时, l0两个级数同时收敛或发散 ; 特别取 ,1pnnv
3、 可得如下结论 : 对正项级数 ,nu,1pl0lunn limpnl0发散nu(2) 当 且 收敛时, 0lnv(3) 当 且 发散时, lnv也收敛 ; 也发散 . 收敛nu的敛散性. nnn1lim例例3. 判别级数 11sinnn的敛散性 . 解解: nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知 .1sin1发散nn例例4. 判别级数 1211lnnn解解: nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知 .11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n 21n2n211lnn定理定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法) 设 为正项级数, 且 ,lim
4、1nnnuu则 (1) 当 1(2) 当 1 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . (3) 当 时, 级数可能收敛可能发散 ; 1 1lim1nnnuu说明说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如例如, , p 级数 nnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但 , 1p级数收敛 ; , 1p级数发散 . limn例例5. 讨论级数 的敛散性 . 解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理4可知: ,10时当 x级数收敛 ; ,1时当 x级数发散 ; ,1时当 x定理定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 为正项级 ,limnnnu则 数, 且
5、时 , 级数可能收敛也可能发散 . (3) 例如 , p 级数 pnnnnu1)(1n但 , 1p级数收敛 ; , 1p级数发散 . 例例6. 证明级数 收敛于S , 似代替和 S 时所产生的误差 . 解解: : nnnnnu1由定理5可知该级数收敛 . 令 ,nnSSr则所求误差为 21)2(1) 1(10nnnnnr1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估计以部分和 Sn 近 二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数交错级数 . 定理定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 ; ),2, 1() 11nu
6、unn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 , 且其和 ,1uS 其余项满足 .1nnur,2, 1,0nun设收敛 收敛 nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性: nnn10) 1(104103102101) 31432收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? ;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散 收敛 收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数 若
7、若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 111) 1(nnn1110) 1(nnnn收敛 , 数 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如例如 ： 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . 定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证证: 设 nv),2,1(n根据比较审敛法 显然 ,0nv1nnv收敛, 收敛 12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛 )(21nnuu 且 nv,nu收敛 , 令 例例7. 证明下列级数绝对收敛 : .) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证证: (1) ,1sin44nnn而 141nn收敛 , 14sinnnn收敛 因
8、此 14sinnnn绝对收敛 . (2) 令 nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此 12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛, 绝对收敛. 内容小结内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 0limnnu不满足 发 散 满足 比值审敛法 limn1nunu根值审敛法 nnnulim1收 敛 发 散 1不定 比较审敛法 用它法判别 部分和极限 13. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 01nnuu0limnnu则交错级数 nnnu1) 1(收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 思考与练习思考与练习 设正项级数 1nnu收敛, 能否推出 12nnu收敛 ? 提示提示: nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知 12nnu收敛 . 注意注意: 反之不成立. 例如, 121nn收敛 , 11nn发散 . Ex: 1. 判别级数的敛散性: 解解: (1) 11nn发散 , 故原级数发散 . 不是 p级数 (2) 11nn发散 , 故原级数发散 .