1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一节 微分方程的幂级数解法 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题 微分方程解法: 积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容 本节内容本节内容: 第十二章 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 ),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf幂级数解法: 202010)()(xxaxxayy将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 ,21aa由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为 本质上是待定系数法 nnxxa)(
2、0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解解: 根据初始条件, 设所求特解为 代入原方程, 得 比较同次幂系数, 得 故所求解的幂级数前几项为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶齐次线性微分方程二、二阶齐次线性微分方程 定理定理. 则在R x 4 时, 111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 nnxn4! ) 1(1,!10nnxxne)211(2xxexyx注意到: 此题的上述特解即为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 解解: 内都可在)1 , 1(求解勒让德 (Leg
3、endre) 方程 展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它). 设方程的解为 ,0kkkxay代入: 22) 1(kkkxakkkkkxakk2) 1(kkkxak120) 1(0kkkxann整理后得: 0) 1)() 1)(2(20kkkkxaknknakk比较系数, 得 ), 1 ,0() 1)(2() 1)(2kakkknknakk例如: 02!2) 1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4) 3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是得勒让德方程的通解: 420!4) 3)(1()2(!2) 1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn) 11(x上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛, 10, aa可以任意取, 它们是方程的 两个线性无关特解. 作业作业 P323 1 (1),(4); 2(2) 第12节 目录 上页 下页 返回 结束
