1、第五节第五节 一、近似计算一、近似计算 二、欧拉公式二、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、近似计算一、近似计算 mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例1. 计算 5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精确到 282811811131!254134105 . 013431518231!254112331!35941解解: 553243240514)
2、1(331机动 目录 上页 下页 返回 结束 )11(432)1ln(432xxxxxx例例2. 计算 2ln的近似值 ,使准确到 .104解解: 已知 故 )1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令 211xx得 7533171315131313122ln,31x于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 在展开式 中,令 121
3、nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得 ) 1ln( n具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如 53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n为自然数) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例例3. 利用 求 误差. 解解: 先把角度化为弧度 9(弧度) 52)20(!51r5)2 . 0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin
4、误差不超过 510的近似值 , 并估计 15643. 0机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 取 例例4. 计算积分 的近似值, 精确到 )56419. 01解解: 12xe!) 1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !) 1(2nnn1221n) 12(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 !3721!252132111642xdex22102!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn则 n 应满足 xe
5、xd22120则所求积分近似值为 欲使截断误差 5205. 0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算积分 的近似值, 精确到 解解: 由于 , 1sinlim0 xxx故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间 ! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!551! ) 12() 12() 1(nnn3r00167. 005556. 01上连续, 且有幂级数展开式 : 9461. 0机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、欧拉二、欧拉(Euler)公式公式 则称 收敛收敛 , 且其和为 )(1n
6、nnviu 绝对收敛 ,1nnu)(1nnnviu 收敛 . ,1uunn,1vvnn若 nnnviu 1. viu 221nnnvu 收敛, 若 对复数项级数 ,22nnnvuu22nnnvuv 1nnv绝对收敛 则称 绝对收敛绝对收敛. 由于 , 故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 复变量 的指数函数为 易证它在整个复平面上绝对收敛 . 当 y = 0 时, 它与实指数函数 xe当 x = 0 时, nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242! )2() 1(!41!211ycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyyi sin的幂级数展式一致. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xixexisincosxixexisincos（欧拉公式） （也称欧拉公式） 利用欧拉公式可得复数的指数形式 rxxyyoyixzyixzsincosirier则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 据此可得 ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式德莫弗公式) 利用幂级数的乘法, 不难验证 2121zzzzeee特别有 yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee )sin(cosyiyexxerxxyyoyixz第六节 目录 上页 下页 返回 结束