1、第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容本节内容: 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中 )(xRn( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项拉格朗日余项 . 10) 1()(! ) 1()(nnxxnf则在 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 , 该邻域内有 : )(0
2、xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f (x) 的泰勒级数泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 定理定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: . 0)(limxRnn设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 定理定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展
3、开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法 由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内 )(limxRnn是否为 骤如下 : 展开方法展开方法 直接展开法 利用泰勒公式 间接展开法 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 例例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项
4、满足 e! ) 1( n1nxxe故 ,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn( 在0与x 之间) x2!21x3!31xnxn!1故得级数 例例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解解: )()(xfn)0()(nf得级数: x其收敛半径为 ,R对任何有限数 x , 其余项满足 ) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx12 kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnxxsinnkn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxxnnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos
5、类似可推出: 12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx例例3. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解解: 易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 级数 mx12!2) 1(xmm由于 1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 (称为二项展开式二项展开式 . 说明：说明： (1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .
6、(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理二项式定理. 由此得 对应 1,2121m的二项展开式分别为 xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x) 11(1112xxxxxn2. 间接展开法间接展开法 x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解解: 因为 nnxxx) 1(12)11(x把 x 换成 2x211xnnxxx242) 1(1)11(x,
7、得 将所给函数展开成 幂级数. 例例5. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn从 0 到 x 积分, 得 xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定义且连续, 区间为 利用此题可得 11x11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛 , 有在而1)1ln(xx所以展开式对 x 1 也是成立的, 于是收敛 例例6. 将 展成 解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx32)4(!31)4(!21)4(121xxx的幂级数. )4(x3)4(!31x5)4(!51x例
8、例7. 将 展成 x1 的幂级数. 解解: ) 3)(1(13412xxxx21x21x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x41x1内容小结内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函数 . ! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )
9、2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时 x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x思考与练习思考与练习 1. 函数 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级 数” 有何不同 ? 提示提示: 后者必需证明 , 0)(limxRnn前者无此要求. 2. 如何求 的幂级数 ? 提示提示: xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xEx: 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数 解解: ,) 1(02nnnx)1 , 1(x002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxnx1 时, 此级数条件收敛, ,4)0(f,12) 1(4)(012nnnxnxf1, 1x因此 )1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn2. 将 在x = 0处展为幂级数. 解解: )1ln(x)32)(1 (322xxxx1nnnx) 11(x)1ln(23xnnnxn)(23) 1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此 2ln)(xf1nnnxnnnxn)() 1(2311