1、无穷级数 无穷级数无穷级数 无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具 表示函数表示函数 研究性质研究性质 数值计算数值计算 数项级数数项级数 幂级数幂级数 付氏级数付氏级数 第十二章 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 第一节 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时
2、增加的面积, 则圆内接正 引例引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程 2g21ts 知 g2st 则小球运动的时间为 1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g1263. 2( s ) 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 定义定义： 给定一个数列 ,321nuuuu将各项依 ,1nnu即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 nu叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和和, 记作 当级数收敛时, 称差值
3、 为级数的余项余项. 则称无穷级数发散发散 . 显然 例例1. 讨论等比级数 (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若 qqaan1从而 qannS1lim因此级数收敛 , ;1 qa从而 ,limnnS则部分和 因此级数发散 . 其和为 2). 若 因此级数发散 ; 因此 nSn 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, 1q时, 等比级数收敛 ; 1q时, 等比级数发散 . 则 级数成为 ,a,0不存在 , 因此级数发散. 例例2. 判别下列级数的敛散性: 解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n
4、）n(所以级数 (1) 发散 ; 技巧技巧: 利用 “拆项相消拆项相消” 求和 23ln34lnnn1ln(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 31214131111nn技巧技巧: 利用 “拆项相消拆项相消” 求和 例例3. 判别级数 的敛散性 . 解解: nnnln2) 1ln() 1ln(2ln)1ln(1n故原级数收敛 , 其和为 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数 收敛于 S , ,1nnuS则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 证证: 令 ,1nkknuS则 nkknuc1,n
5、ScnnlimSc这说明 1nnuc收敛 , 其和为 c S . 说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S . 性质性质2. 设有两个收敛级数 ,1nnuS1nnv则级数 )(1nnnvu 也收敛, 其和为 .S证证: 令 ,1nkknuS,1nkknv则 )(1knkknvu )(nS这说明级数 )(1nnnvu 也收敛, 其和为 .S说明说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 )(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 , 不一定发散. 例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反
6、证法可证) 性质性质3. 在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证证: 将级数 1nnu的前 k 项去掉, 的部分和为 nllknu1knkSS数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 .kSS 类似可证前面加上有限项的情况 . 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数 性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证证: 设收敛级数 ,1nnuS若按某一规律加括弧, 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 ),2,1(nSn的一个子序列, S推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
7、 ,0) 11 () 11 (但 发散. 因此必有 例如， 用反证法可证用反证法可证 例如 例例4.判断级数的敛散性: 解解: 考虑加括号后的级数 发散 , 从而原级数发散 . 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数 则必有 证证: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 . 例如例如, 其一般项为 不趋于0, 因此这个级数发散. 注意注意: 0limnnu并非级数收敛的充分条件. 例如例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 . 事实上事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 nn2nnnn21312111但 nnSS2矛盾! 所以假设不真 . 21