1、三、环流量与旋度三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子四、向量微分算子 yozx一一、 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, zRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数, 的 侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 证证: 情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 yxDyxyxfz),(, ),(:n为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图)
2、. yxDC则有 则 xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC因此 SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证 yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅
3、助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示: SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例1. 利用斯托克斯公式计算积分 其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 解解: 记三角形域为, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示. yxx
4、zzydddddd利用对称性 yxDyxdd323yxD例例2. 为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 oz2yx解解: 设为平面 z = y 上被 所围区域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 SId0则其法线方向余弦 coscoscoszyxzxyxy2三、三、 环流量与旋度环流量与旋度 斯托克斯公式 zRyQxPddd设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为 则斯托克斯公式可写为 sRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos令 , 引进一个向量 ),(RQPAArot记作 向量 rot A 称为向量场 A 的 RQ
5、Pkjizyx称为向量场A 定义定义: sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线 的环流量环流量. sASnAddrot或 sASAndd)(rot 于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度 . ozxyl设某刚体绕定轴 l 转动, M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图, M则 ),(zyxr 角速度为 , r), 0, 0(点 M 的线速度为 rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2, 0, 0(2(此即“旋度”一词的来源) 旋度的力学意义旋度的力学意义: 向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! sASAndd)(rot为向量场 A 沿 的
6、环流量 斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意义: 内容小结内容小结 1. 斯托克斯公式斯托克斯公式 zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscoszuyuxu,3. 场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念 设 , ),(zyxuu , ),(RQPA 梯度梯度: uradgzRyQxPRQPkjizyxArotAdiv散度散度: 旋度旋度: 则 思考与练习思考与练习 ,222zyxr设则 .)radg (rot;)radg (divrr提示提示: rradgrzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )(rzz322rzr )0,0,0(r2)radg (rotr三式相加即得 )radg (divrrzryrxzyxkji0zyxkjiArot的外法向量, 计算 解解: ) 1,0,0(SIdcos8232zxy2. 设 .drotSnAI为n