1、第1章直线与方程1、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1设直线与x轴的交点为P，且倾斜角为，若将其绕点P按逆时针方向旋转45，得到直线的倾斜角为+45，则（ ）A090 B0135 C0135 D01352.下列说法中，正确的是（ ）A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tanB直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则sin0D任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率3已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线y=2x1平行，则m的值为（ ）A0 B8 C2 D104直线与直线互相垂直，那么a的值为（ ）A1 B C D25若直线与直线，分别交于点P，Q，且线段P
2、Q的中点坐标为（1，-1），则直线的斜率为( )A B C D6已知点在直线上的运动，则的最小值是（）BACD7若直线与轴平行且与轴相距5时，则等于（ ） A B C8 D08在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）A1条 B2条 C3条 D4条二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）9（2022全国高二课时练习）已知点与直线，下列说法正确的是（）A过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直B过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条C点P关于直线l的对称点坐标为D直线l关于点P对称的直线方程为10已知a为实数，若三条直线和不能围成三
3、角形，则a的值为（）ABC1D11已知直线：，：，以下结论正确的是（）A不论为何值时，与都互相垂直B当变化时，与分别经过定点和C不论为何值时，与都关于直线对称D设为坐标原点，如果与交于点，则的最大值是12下列说法中，正确的有（）A过点且在轴截距相等的直线方程为B直线在y轴上的截距是；C直线的倾斜角是D过点并且倾斜角为的直线方程为三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13 已知定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标是 14 14若直线m被两平行直线1：xy+1=0与2：xy+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是：15；30；45；60；75其中正确答案的序号是_（写出所
4、有正确答案的序号）15过点P（1，2）的直线与线段AB相交，若A（2，3），B（3，0），求的斜率k的取值范围16函数ya2x2(a0，a1)的图象恒过点A，若直线l：mxny10经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为_四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知两直线，,问：取何值时，与满足： （1）平行；（2）重合；（3）相交。18（12分）.过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程.19（12分）已知直线，试求：（1）与直线的距离为的直线的方程；（2）点关于直线的对称点的坐标2
5、0（12分）已知两点A(1,2)，B(m,3)(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m1，1，求直线AB的倾斜角的取值范围21（12分）两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程22（12分）在直线：3xy1=0上求一点P，使得：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小第1章 直线与方程一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1设直线与x轴的交点为P，且倾斜角为，若将其绕点P按逆时针方向旋转45，得到直线的倾斜角为+45，
6、则（ ）A090 B0135 C0135 D0135【答案】D【解析】 ，+45均为倾斜角，0135又直线与x轴相交，0故选D2.下列说法中，正确的是（ ）A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tanB直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则sin0D任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系对于A，当=90时，直线的斜率不存在，A错；对于B，虽然直线的斜率为tan，但只有当0，180）时，才是此直线的倾斜角，B错；对于C，当直线平行于x轴时，=0，而sin0=0，C错应选D3已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线y=2x
7、1平行，则m的值为（ ）A0 B8 C2 D10【答案】B 【解析】 由两直线平行得，m=84直线与直线互相垂直，那么a的值为（ ）A1 B C D2【答案】D 【解析】 两直线垂直，a=25若直线与直线，分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，-1），则直线的斜率为( )A B C D【答案】B【解析】由直线与直线分别交于点P、Q，可设，再由线段PQ的中点坐标为，可解得：，即直线上有两点，代入斜率公式可解得直线的斜率为故选B6已知点在直线上的运动，则的最小值是（）BACD【答案】B【解析】【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直
8、线的距离，所以的最小值为故选：B7若直线与轴平行且与轴相距5时，则等于（ ） A B C8 D0【答案】A【解析】由题意知，所以，或10，所以或88在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）A1条 B2条 C3条 D4条【答案】B 【解析】 由题意可知所求直线显然不与y轴平行， 可设直线为y=kx+b，即kxy+b=0，两式联立解得b1=3，k1=0，故所求直线共有两条二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9（2022全国高二课时练习）已知点与
9、直线，下列说法正确的是（）A过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直B过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条C点P关于直线l的对称点坐标为D直线l关于点P对称的直线方程为【答案】CD【分析】对于A，当截距为0时，直线与直线l平行,即可判断；对于B，可设直线方程为，根据条件求a,b,根据解的情况进行判断；对于C，求点P关于直线l的对称点坐标即可判断；对于D，求直线l关于点P对称的直线方程即可判断.【详解】对于A，当截距为0时，直线与直线l平行，故A错误对于B，设直线方程为，因为直线过点，所以，又过点P的直线与坐标轴围成三角形的面积为，所以，由，得，或，共有3组解，所以符合题意的直线有3条
10、，故B错误对于C，设点P关于直线l的对称点坐标为，则，解得，即点P关于直线l的对称点坐标为，故C正确对于D，设直线l关于点P对称的直线方程为，则有，解得，即直线l关于点P对称的直线方程为，故D正确故选：CD10已知a为实数，若三条直线和不能围成三角形，则a的值为（）ABC1D【答案】ABD【解析】【分析】当三条直线交于一点时，不能围成三角形，当三条直线中有平行直线时，不能围成三角形，从而可求出a的值【详解】当三条直线交于一点时，由，解得，所以交点为，所以，得，当直线与平行时，得，当直线与平行时，得，所以当，或，或时，三条直线不能围成三角形，故选：ABD11已知直线：，：，以下结论正确的是（）A
11、不论为何值时，与都互相垂直B当变化时，与分别经过定点和C不论为何值时，与都关于直线对称D设为坐标原点，如果与交于点，则的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】A选项，利用两条直线垂直的充要条件即可求解；B选项，求出两直线恒过的点的坐标；C选项，利用点关于直线的对称点，即可求解；D选项，先求出两直线的交点的坐标，再用两点间距离公式，即可求解.【详解】由于1a+-a1=0，所以与互相垂直，故不论为何值时，与都互相垂直；A正确；直线：，当时，所以恒过点，：，当时，所以恒过点，故B正确；设直线：上任意一点，则点P关于直线的对称点为，将点代入直线，可得：，与在直线：上矛盾，故C错误；联立方程组：x-ay
12、+2=0ax+y-2=0，解得：x=2a-2a2+1y=2a+2a2+1故M点坐标为2a-2a2+1,2a+2a2+1，则MO=2a-2a2+12+2a+2a2+12=8a2+122，则的最大值是，D正确.故选：ABD12下列说法中，正确的有（）A过点且在轴截距相等的直线方程为B直线在y轴上的截距是；C直线的倾斜角是D过点并且倾斜角为的直线方程为【答案】BD【分析】求出截距相等的直线方程判断A，求出直线的纵截距判断B，由直线方程求得倾斜角判断C，根据倾斜角得出直线方程判断D【详解】解：对A：过点且在x，y轴截距相等的直线方程，要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线过原点时，直线方程为；当
13、直线不过原点时，直线方程为，所以A错误.对B：直线在y轴上的截距，令，得，所以直线在y轴上的截距为，所以B正确.对C：直线的斜率为，设倾斜角为，则，所以，所以C错误.对D：过点并且倾斜角为，斜率不存在，所以直线方程为，即，所以D正确.故选：BD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）15 已知定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标是 【答案】【解析】过A点作垂直于已知直线，此时线段最短因为， ，解得：14若直线m被两平行直线1：xy+1=0与2：xy+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是：15；30；45；60；75其中正确答案的序号是_（写出所有正确答案的序号）【答
14、案】 【解析】因为两平行直线间的距离为，直线m被截得的线段的长为，所以m与1的夹角是30，又因为1的倾斜角为45，所以直线m的倾斜角为30+45=75或4530=15故填15过点P（1，2）的直线与线段AB相交，若A（2，3），B（3，0），求的斜率k的取值范围【答案】【解析】如图所示，过点P的直线与AB相交时，只是它们的斜率不同，所以只需求出PA与PB的斜率，而过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在当由PA变化到PC时，倾斜角越来越大，因此斜率越来越大，所以k5；当由PC变化到PB时，倾斜角越来越大，因此斜率越来越大，所以所以斜率k的取值范围为16函数ya2x2(a0，a1)的图象恒过点A
15、，若直线l：mxny10经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为_【答案】【解析】法一：由指数函数的性质可得：函数ya2x2(a2，a1)的图象恒过点A(1,1)，而Al，mn10，即mn1，由基本不等式可得：m2n2(mn)2.O到直线l的距离d，O到直线l的距离的最大值为.法二：直线l：mxny10经过点A(1,1)，坐标原点O到直线l的距离的最大值为|OA|.四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知两直线，,问：取何值时，与满足： （1）平行；（2）重合；（3）相交。【思路点拨】对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方
16、程转化为斜截式形式，再作判定。转化时要注意对斜率是否存在（即的系数是否为）进行讨论。【解析】（1）方法一:当时，, ，此时；当时，, 由,解得 方法二:当时，, ，此时；当时，由解得 当或时，（2）当时，解得, 当时，和重合。（3）当时，解得， 当且且时，和 相交。18（12分）.过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程.【思路点拨】因直线已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程，且易知k0且1-2k0故k0，b0，点P(2，1)在直线上，故，由均值不等式:1=当且仅当，即a=4，b=2时取等号，且S=ab=4，此时方程为即
17、:x+2y-4=0.解法三：如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，设=PAM=BPN，则AOB面积S=S矩形OMPN+SPAM+SBPN=4，当且仅当时，SAOB有最小值4，故此时直线的方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.19（12分）已知直线，试求：（1）与直线的距离为的直线的方程；（2）点关于直线的对称点的坐标【答案】（1）或（2）【解析】（1）设所求直线方程为， 根据题意，解得或， 所以，所求直线方程为或 （2）设关于直线的对称点为 则，且的中点在直线上，即点在直线上 所以，即 解得，即20（12分）已知两点A(1,2)，B(m,3)(1)求直
18、线AB的方程；(2)已知实数m1，1，求直线AB的倾斜角的取值范围【解析】(1)当m1时，直线AB的方程为x1，当m1时，直线AB的方程为y2(x1)(2)当m1时，；当m1时，m1，0)(0，k(，)，)(，综合知，直线AB的倾斜角的取值范围为，21（12分）两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程【解析】(1)当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，最大值为d|AB|3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0d3，即所求的d的变化范围是(
19、0,3(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，所以k3，故所求的直线方程分别为y23(x6)和y13(x3)，即3xy200和3xy100.22（12分）在直线：3xy1=0上求一点P，使得：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小【答案】（1）（2，5）（2）【解析】 设B关于的对称点为B，AB与的交点P满足（1）；设C关于的对称点为C，AC与的交点P满足（2）事实上，对（1），若P是上异于P的点，则 ；对于（2），若P是上异于P的点，则 （1）如图1所示，设点B关于的对称点B的坐标为（a，b）， ，即，a+3b12=0 又由于BB的中点坐标为，且在直线上，即3ab6=0 解得a=3，b=3，B（3，3）于是直线AB的方程为，即2x+y9=0解由的直线方程与AB的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即与AB的交点坐标为（2，5），所以P（2，5）（2）如图2所示，设C关于的对称点为C，求出C的坐标为AC所在直线的方程为19x+17y93=0AC和交点坐标为故P点坐标为