1、第13课时 二次函数的图象与性质一、单选题1（2021北京东城二模）四位同学在研究函数y=-x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x=1时，函数有最大值；乙同学发现函数y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，-3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x=3时，函数的值为0若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（）A甲B乙C丙D丁2（2020北京海淀二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”下列函数的图象中不存在“同号点”的是（）ABCD二、填空题3（2022北京西城二模）将抛物线y=2x2向下平移b(b0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1，
2、4)，则b的值为_4（2021北京西城一模）将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是_5（2021北京朝阳一模）如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_6（2020北京海淀二模）如图，在平面直角坐标系中，有五个点，将二次函数的图象记为W下列的判断中点A一定不在W上；点B，C，D可以同时在W上；点C，E不可能同时在W上所有正确结论的序号是_三、解答题7（2022北京中考真题）在平面直角坐标系中
3、，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围8（2021北京中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）已知点在该抛物线上若，比较的大小，并说明理由9（2020北京中考真题）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，（2）设抛物线的对称轴为若对于，都有，求的取值范围10（2020北京中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且
4、；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 （2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：012301综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 11（2019北京中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围12（2018北
5、京中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点（1）求点的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围13（2022北京东城二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线(1)直接写出抛物线与轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；(3)若抛物线与轴相交于两点，且，求的取值范围14（2022北京西城二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线没有公共点，求a的取值范围；(3)点，在此抛物线上，且当时，都有直接写出a的
6、取值范围15（2022北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（1，），（a，），（1，）在抛物线上，且，求a的取值范围16（2022北京朝阳一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上(1)若，求的值；(2)若，求值的取值范围17（2022北京海淀二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x22ax + 1上，其中m1且m2(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大
7、于1的实数m，使y1y2y3，求a的取值范围18（2022北京海淀一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上若，求m的取值范围19（2021北京东城二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A（1）求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围20（2021北京西城二模）在平面直角坐标系中，为抛物线上两点，其中（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若，
8、点M，点N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当为等腰直角三角形时，求a的值；（3）记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围21（2021北京西城一模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若，求抛物线所对应的函数解析式；（3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围22（2021北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上的两点（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；
9、（2）若对于，都有，求h的取值范围23（2021北京海淀二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G点，图形G上任意两点当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；若对于，都有，求m的取值范围24（2021北京海淀一模）在平面直角坐标系中，抛物线分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m当时，若图形G为轴对称图形，求m
10、的值；若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围25（2020北京东城二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线的顶点为C（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式的x的最大值为3，直接写出实数a的值26（2020北京西城二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD（1）当时，写出抛物线的对称轴；求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范
11、围27（2020北京朝阳二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点（1）求c的值；（2）当时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点，若抛物线与线段有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围28（2020北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22a2x（a0）的对称轴与x轴交于点P（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）记函数（1x3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围29（2020北京海淀二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F（1）求点B的坐标及
12、该函数的表达式；（2）若二次函数的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围30（2020北京海淀二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4x+c（a0）经过点A（3，4）和B（0，2）（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）将图象M沿直线x=3翻折，得到图象N若过点C（9，4）的直线y=kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围参考答案1B【分析】由甲的结论得，解得b=2；由乙的结论得c=-3；若甲、乙结论正确，可得函数的解析式为，根据解析式判定当甲、乙结论正确时，丙、丁结论错误，这与已知中四位同学中
13、只有一位同学的结论是错误相矛盾，即可得甲、乙两个结论中有一个错误，丙、丁结论正确；再假设甲同学的结论正确， 乙同学的结论错误，由甲、丙同学的结论可得二次函数的解析式为：，当x=3时，y=0，与丁的结论相符合，假设成立，由此可得乙同学的结论是错误的【解析】由甲的结论得，解得b=2；由乙的结论得c=-3；若甲、乙结论正确，可得函数的解析式为，当x=1时，y=-24，当x=3时，y=-60，当甲、乙结论正确时，丙、丁结论错误，这与已知中四位同学中只有一位同学的结论是错误相矛盾，甲、乙两个结论中有一个错误，丙、丁结论正确假设甲同学的结论正确，乙同学的结论错误，由甲、丙同学的结论可得二次函数的解析式为：
14、当x=3时，y=0，与丁的结论相符合，假设成立；乙同学的结论是错误的故选B【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质是解决此题的关键2C【分析】根据函数图像点的坐标满足函数解析式及“同号点”的定义求解即可【解析】A.点在函数的图象上，故存在“同号点”；B.点在函数的图象上，故存在“同号点”；C.对于函数，xy=-20， x，y异号，故不存在“同号点”；D.点在函数的图象上，故存在“同号点”；故选C【点睛】本题考查了新定义问题，以及函数图像上点的坐标特征，正确理解“同号点”的定义是解答本题的关键36【分析】根据平移规律和待定系数法确定函数关系式，即可求解【
15、解析】解：平移后，设新抛物线的表达式为y=2x2-b，新抛物线经过点（1，-4），将x=1，y=-4代入得：-4=212-b，b=6故答案为：6【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式是解题的关键4【分析】根据“左+右-”法则得到新函数的解析式为，根据图象解题即可【解析】解：将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数：画图如下，由图象可知，当时，恰好的图象从左往右上升，而另一个函数从左往右下降，故答案为：【点睛】本题考查二次函数图象的平移，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键5【分析】根据函数的解析式，得A（0，3），B
16、的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答【解析】，解得x=3或x=-1，点B的坐标为（3，0），当x=0时，y=3，点A的坐标为（0，3），不等式的解集为,故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键6【分析】由m0可得点A 不在抛物线上，故可判断；先根据B，C两点坐标求出函数关系式，再把D点坐标代入即可判断点D是否在函数图象上；将C、E两点坐标代入，能求出a，m则可判断出C、E均在函数图象上，否则，则不在函数图象上.【解析】由二次函数知其顶点坐标为（2，m），而m0，故（2，0）不在函
17、数图象上，所以，点A不在函数图象上，即点A一定不在W上，故正确；把C（-2，4），B（0，-2）代入得，解得， 当x=4时，y=-2,所以，点D在函数的图象上，因此，点B，C，D可以同时在W上，故正确；把C（-2，4），E（7，0）分别代入得，解得， 所以，点C，E可能同时在W上，故错误.故答案为：.【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，运用待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键.7(1)（0，2）；2(2)的取值范围为，的取值范围为【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的
18、对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解【解析】（1）解：当时，当x=0时，y=2，抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；，点关于对称轴为对称，；（2）解：当x=0时，y=c，抛物线与y轴交点坐标为（0，c），抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，13，2t3，即（不合题意，舍去），当点在对称轴的
19、左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，解得：，13，2t3，即，对称轴为， ，解得：，的取值范围为，的取值范围为【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键8（1）；（2），理由见解析【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可【解析】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：，解得：，抛物线解析式为，抛物线的对称轴为；（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：当时，由抛物
20、线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；当时，抛物线始终过定点，此时抛物线的对称轴的范围为，点在该抛物线上，它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，开口向上，由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键9（1）；（2）【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值；（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可【解析】解
21、：（1）当x=0时，y=c，即抛物线必过（0，c），抛物线的对称轴为，点M，N关于对称，又，；（2）由题意知，a0，抛物线开口向上抛物线的对称轴为，情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立情况2：当都位于对称轴左侧时，即时，恒不成立情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即解得，32t，综上所述，【点睛】本题考查了二次函数图象的性质解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想10（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；（3）根据函数图像和性质，当
22、时，函数有最大值，代入计算即可得到答案【解析】解：（1）根据题意，在函数中，,函数在中，随的增大而减小；，对称轴为：，在中，随的增大而减小；综合上述，在中，随的增大而减小；故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；由（1）可知在中，随的增大而减小；在中，有当时，m的最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值11（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.【分析】（1）
23、向右平移2个单位长度，得到点；（2）A与B关于对称轴x=1对称；（3）a0时，当x=2时，当时，x=0或x=2，所以函数与AB无交点；a0时，当y=2时，或当时，；【解析】解：（1）抛物线与轴交于点A，令，得，点A的坐标为，点A向右平移两个单位长度，得到点B，点B的坐标为；（2）抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为直线，故对称轴为直线（3）对称轴x=1，b-2a， a0时，当x=2时，当x=0或x=2，函数与AB无交点；a0时，当y=2时，或当时，；当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；（3）当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点
24、B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.当时，则.分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键12（1）（5，4）；（2）x=1；（3）或或【分析】（1）根据直线与轴、轴交于、即可求出（，0），（0，4），根据点的平移即可求出点的坐标；（2）根据抛物线过（，），代入即可求得，根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物线的对称轴；（3）分当抛物线过点时当抛物线过
25、点时当抛物线顶点在上时三种情况进行讨论即可.【解析】（1）解：直线与轴、轴交于、（，0），（0，4）（5，4）（2）解：抛物线过（，）对称轴为（3）解：当抛物线过点时，解得当抛物线过点时，解得当抛物线顶点在上时此时顶点为（1，4），解得综上所述或或点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用.13(1)（0，1）；(2)（3，9a+1）；(3)a【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；（2）根据抛物线的对称轴为直线x3，求出b6a，进而得出抛物线解析式，最后将代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐
26、标，即可得出结论；（3）当a0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线与y轴的交点为（0，1），进而判断出xA0，xB6，得出AB|xBxA|6，判断出此种情况不符合题意，当a0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x1时，得出a6a+10，求出a，再根据y顶点9a+10，即可得出答案【解析】(1)针对于抛物线yax2+bx+1，令x0，则y1，抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；(2)抛物线yax2+bx+1（a0）的对称轴是直线x3，3，b6a，抛物线的解析式为yax26ax+1，当x3时，
27、y9a18a+19a+1，抛物线的顶点坐标为（3，9a+1）；(3)当a0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线yax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），抛物线yax2+bx+1的对称轴为直线x3，xA0，xB6，AB|xBxA|6，AB4，此种情况不符合题意，当a0时，抛物线的开口向上，由（2）知，抛物线的解析式为yax26ax+1，在x轴上关于抛物线的对称轴x3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），AB4，当x1时，yax26ax+1a6a+10，a，抛物线与x轴有两个交点，y顶点9a+10，a，a【点睛】此题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标
28、的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键14(1)c=-2，抛物线的对称轴为直线x=1(2)0a4(3)或【分析】（1）把，分别代入，求得c=-2，b=-2a，再把c=-2，b=-2a代入得y=ax2-2ax-2=a(x-1)2-a-2，根据抛物线的顶点式，即可求出抛物线的对称轴；（2）把y=-6代入y=ax2-2ax-2，整理得ax2-2ax+4=0，根据抛物线与直线没有公共点，则=(-2a)2-4a40，即a(a-4)0时，则a-40，即a4，则0a4；当a0，即a4，此时，无解；即可得出答案；（3）把点，分别代入y=ax2-2ax-2，得y1=at2-2at-2，y2=a(t-1)2-2
29、a(t-1)-2=at2-a-2，求得|y2-y1|，进而求出at的范围，结合a、t范围，求解即可【解析】(1)解：把，分别代入，得t-，则，解得：，当c=-2时，抛物线解析式为：y=ax2-2ax-2=a(x-1)2-a-2，抛物线的对称轴为直线x=1；(2)解：把y=-6代入y=ax2-2ax-2，整理得ax2-2ax+4=0，抛物线与直线没有公共点，=(-2a)2-4a40，即a(a-4)0时，则a-40，即a4，0a4，当a0，即a4，此时，无解；综上，a的取值范围为0a4；(3)解：点，在此抛物线上，y1=at2-2at-2，y2=a(t-1)2-2a(t-1)-2=at2-a-2，
30、|y2-y1|=|( at2-2a-2)-( at2-2at-2)|=|a(2t-1)|，当-2t4时，都有|y2-y1|，-|a(2t-1)|,a0，当a0时，解得：,综上，a的取值范围是或【点睛】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象与直线无交点问题，熟练掌握二次函数图象性质和利用不等式求参数的范围是解题的关键15(1)直线(2)或【分析】（1）直接根据函数表达式代入对称轴求解即可；（2）分三种情况进行讨论分析：当时，当时，当时，根据二次函数的基本性质及图象求解即可得出结果【解析】(1)解：抛物线表达式为，对称轴为直线；(2)解：由题意可知抛物线开口向上当时，由，得解得由，得解得当时，由，
31、得解得由，得解得当时，由，得解得由，得解得无解综上，或【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及数形结合思想，理解题意，对a的值进行分类讨论是解题关键16(1)0(2)【分析】（1）将和分别代入函数解析式，根据，可解出b的值，再将代入函数解析式，可解出c的值；（2）若，由于函数图像开口向上，函数值越小离对称轴越近，函数值越大离对称轴越远，结合二次函数对称性可判断出对称轴的取值范围，把点带入中求出，进而可求出值的取值范围【解析】(1)解：将和分别代入解析式，得，解得，把点带入中，得，解得，函数解析式为当，；(2)解：，中，函数图像开口向上，又，解得，把点带入中，得，将代入解析式，得，即【点睛】本题
32、主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的性质，牢固掌握以上知识点并学会数形结合是做出本题的关键17(1)(2)，理由见解析(3)a的取值范围是【分析】（1）直接根据对称轴公式求即可；（2）当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，），再结合y1= y3，即可求出函数解析式，判断即可；（3）将（m 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）代入y = x22ax + 1中，再解不等式即可；【解析】(1)解：；(2)当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，）， ， （，）与（2，）关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为，即函数解析式为 （0，）为抛物线的顶点 抛物线的开口向上
33、， 当时，为函数的最小值 (3)将，和分别代入，得：，则有：，于是成立，即为和同时成立，也即为和同时成立 当时，故，不存在大于1的实数m； 当时，要使，则，也不存在大于1的实数m； 当时，不符合题意； 时，只需取满足的m即可满足前述两个不等式同时成立，即成立综上所述，a的取值范围是【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质是解题的关键，（3）需要注意分类讨论18(1)，（1，-1）；(2)【分析】（1）把点代入，即可求解；（2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解【解析】(1)解：二次函数的图象经过点，解得：a=1，该二次函数的解析式为，图象顶点的坐标为（1，-1）
34、；(2)解：一次函数的图象经过点A，解得：b=5，一次函数的解析式为，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，即，解得：【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键19（1）；（2）点B的坐标为；（3）或【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；（2）先求出点A的坐标，再求出其对称性即可求解；（3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解【解析】解：（1）由抛物线，可知抛物线的对称轴为直线（2）抛物线与y轴交于点A，令x=0，y=1点A的坐标为点B是点A关于直线的对称点， 点B的坐标为（3）点A ，点B ，点 P，点Q，点 P在点A
35、的上方，点Q在直线上 当时，点Q在点A的右侧（i）如图1，当，即时，点Q在点B的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点；（ii）如图2，当，即时，点Q在点B的右侧，或与点B重合，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点当时，点Q在点B的左侧（i）如图3，当，即时，点Q在点A的右侧，或与点A重合，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；（ii）如图4，当，即时，点Q在点A的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点 综上所述，a的取值范围是或【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求解20（1），；（2）或；
36、（3）【分析】（1）令y=0代入，进而即可求解；（2）先用a表示出M，N的坐标，根据为等腰直角三角形，列出方程，进而即可求解；（3）先表示出顶点坐标为：()，分4种情况分类讨论：当图象G不包含顶点， a时，当图象G不包含顶点， a+t时，当图象G包含顶点， a+t，a，时，当图象G包含顶点， a+t，a，时，进而即可得到答案【解析】解：（1）时，抛物线与x轴的交点坐标为，；（2）当时，M，N两点的坐标分别为，为等腰直角三角形，解得或（3）对于抛物线，其顶点坐标为：()，当图象G不包含顶点， a时，即：，t0，0t1；当图象G不包含顶点， a+t时，即：，解得：-1t1，t0，0t1；当图象G包
37、含顶点， a+t，a，时，即：， ，（舍去）或，即：a且，即：a且，且，1t2；当图象G包含顶点， a+t，a，时，即：，或（舍去），即：，a+t且，即：+t且，1t2；综上所述：【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像上点的坐标特征，运用分类讨论思想方法，是解题的关键21（1）；（2）或；（3）或【分析】(1)根据对称轴公式求解即可；(2)根据AB两点坐标，求出对称轴，即可求出a；(3)确定点P在AB上，结合图象，根据抛物线与线段恰有一个公共点，确定P点与B点的位置即可【解析】解：(1)根据对称轴公式可得，；（2）抛物线与y轴的交点为A，点A的坐标为过A所作x轴的平行线与抛
38、物线的交点为B，点B的坐标为或抛物线的对称轴为直线或或抛物线所对应的函数解析式为或（3）过A所作x轴的平行线与抛物线的交点为B，点B的纵坐标为1.点B的横坐标是关于x的方程的解解得点B的坐标为又点P的坐标为，点P在直线上如图4，当时，在右侧，且的y轴上的上方，在抛物线的对称轴右侧抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象可得，点P，点B的横坐标，满足，解得如图5，当时，在左侧，且的y轴上的下方，在抛物线的对称轴右侧抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象可得，点P，点A的横坐标满足，解得综上所述，或【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解题关键是树立数形结合思想，结合图象，熟练运用二次函数相关性质解决问
39、题22（1）；（2）或【分析】（1）将代入解析式，然后将二次函数一般式化成顶点式求解；（2）设抛物线上四个点的坐标为，利用二次函数性质分情况讨论求解【解析】解：（1）当时，抛物线的表达式为 抛物线的对称轴为直线（2）设抛物线上四个点的坐标为， 的最小值必为或由可知，当时，存在，不符合题意 当时，总有当时，y随x的增大而减小，当时，符合题意当时，不符合题意 当时，当时，y随x的增大而增大，当时，符合题意当时，不符合题意综上所述，h的取值范围是或【点睛】本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键23（1）直线；（2）；见解析；【分析】（1）直接利用对称轴公式即可求出（2）当时
40、，二次函数解析式是，对称轴为y轴由此可得图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小，即可求出通过计算可知，点为抛物线上关于对称轴对称的两点，分类讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：当y轴在点P左侧时（含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时，不符题意；当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点M，N分别和点P，Q重合，此时，不符题意；当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），作出图形，即可得出经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，此时，符合题意即有，即【解析】（1）抛物线的对称轴为直线；（2）当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴；图形G
41、如图图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；，通过计算可知，为抛物线上关于对称轴对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：如图，当y轴在点P左侧时（含点P），经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，不符题意；如图，当y轴在点Q右侧时（含点Q），点M，N分别和点P，Q重合，不符题意；如图，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，符合题意此时有，即综上所述，m的取值范围为【点睛】本题为二次函数综合题考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键24（1） ；（2） ；【分析】（1）将抛物线的一般式改为顶点式即可写出其顶点坐标（2）由可知抛物线解析式为，再由对称的性质即可求出t的值最后由增减性即可求出m的值分四种情况讨论：t-1，-1t0，0t1，t1，根据m=2分别列出方程，由t的范围即可求出a的范围【解析】（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为（2）当时，抛物线为，其对称轴为图象G为轴对称图形，点A，B必关于对称轴对称点A的横坐标为t，点B的横坐标为，即点A为，点B为当时，y随x