1、第23课时图形的相似、位似1一、单选题1（2022北京西城二模）如图，在中，点E在BA的延长线上，EC，BD交于点F若，则DF的长为（）A35B45C4D52（2022北京海淀二模）图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与C共线，A，D与E共线，且直线AC与河岸垂直，直线BD，CE均与直线AC垂直经测量，得到BC，CE，BD的长度，设AB的长为x，则下列等式成立的是（）ABCD3（2021北京东城一模）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（）ABC
2、D4（2021北京西城二模）若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（）A1：16B16：1C1：4D1：25（2021北京海淀二模）如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（）A正比例函数关系B一次函数关系C二次函数关系D反比例函数关系6（2020北京西城一模）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵
3、树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（） A6.0mB5.0mC4.0mD3.0m二、填空题7（2022北京中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为_8（2018北京中考真题）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，则的长为_9（2022北京东城二模）据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是_cm10（2022北京朝阳一模）如图，在中，点D在上
4、（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是_（写出一个即可）11（2021北京朝阳一模）如图，中，点D是边上的一个动点（点D与点不重合），若再增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是_（写出一个即可） 12（2020北京西城二模）如图，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，若ADE的面积为1，则ABC的面积等于_13（2020北京朝阳二模）在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为_m14（2020北京海淀一模）如图，在ABCD中，延长CD至点E，使DE=DC，连接BE与AC于点F，则的值是_三、解答题1
5、5（2021北京中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点（1）求证：；（2）连接并延长，交于点，交于点，连接若的半径为5，求和的长16（2021北京中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接（1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明17（2020北京中考真题）如图，AB为O的直径，C为BA延长线上一点，CD是O的切线，D为切点，OFAD于点E，交CD于点F（1）求证：ADC=AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的长18（2022北京东城二模）如图，在中，在上截取，过点
6、作于点，连接AD，以点为圆心、的长为半径作(1)求证：是A的切线；(2)若，求的长19（2022北京东城一模）如图，在中，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F(1)求证：；(2)若，求AE的长20（2022北京西城二模）如图，AB是的直径，CB，CD分别与相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F(1)求证：；(2)若，求FA的长21（2022北京西城一模）已知：如图，线段AB求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB作法：作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；以点E为圆心，BG长
7、为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC所以点C，D就是所求作的点(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明证明：EH=BG，BH=EG，四边形EGBH是平行四边形（_）（填推理的依据），即AC_=AEAGAE=EF=FG，AE=_AGAC=CD=DB22（2022北京海淀一模）如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E(1)求证：；(2)连接BD交AC于点P，若，求DE和BP的长23（2021北京东城二模）如图，在菱形ABCD中，点E是C
8、D的中点，连接AE，交BD于点F（1）求BF：DF的值；（2）若AB=2，AE=，求BD的长24（2021北京东城一模）如图，是的内接三角形，过点C作的切线交AB的延长线于点D，于点E，交CD于点F（1）求证：；（2）若，求线段CF的长25（2021北京西城一模）如图，为，C为的中点，D为延长上一点，与相切，切点为A，连接并延长，交点E，直线于点F（1）求证：；（2）若，求的半径26（2021北京西城一模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，点A，点B的横坐标满足，直线与x轴的交点为，与y轴的交点为D（1）求b的值；（2）若，求k的值；（3）当时，直接写出k的取值范围27（2020
9、北京东城二模）在中，点D是外一点，点D与点C在直线的异侧，且点不共线，连接（1）如图1，当时，画出图形，直接写出之间的数量关系；（2）当时，利用图2，继续探究之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当时，进一步探究之间的数量关系，并用含的等式直接表示出它们之间的关系28（2020北京东城一模）如图，直线与相离，于点，与相交于点，是直线上一点，连接并延长，交于点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求线段的长29（2020北京东城二模）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点（1）求证：；（2）如果，求弦的长30（
10、2020北京海淀二模）如图1，在四边形中，对角线平分为了研究图中线段之间的数量关系，设（1）由题意可得，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表达式为_；（2）如图2，在平面直角坐标系中，根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：写出该函数的一条性质：_；估计的最小值为_（结果精确到0.1）参考答案1C【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质与判定即可解决问题【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，设则即故选：C【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
11、，属于中考常考题型2A【分析】根据平行线的判定定理确定，再根据相似三角形的判定定理和性质求解即可【解析】解：直线BD，CE均与直线AC垂直，AB的长为x，AC=AB+BC=x+BC故选：A【点睛】本题考查平行线的判定定理，相似三角形的判定定理和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键3C【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案【解析】直角三角形两条直角边分别是，斜边，要做一个与其相似的三角形木架，两个三角形对应边成比例，直角三角形中斜边最大，以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，则有2种情况，
12、解得：，解得：，另两边中长度最大的一边最多可达到，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键4A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答【解析】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，故正确的答案为：A【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方5B【分析】过梯子中点O作地面于点D由题意易证，即得出由O为中点，即可推出，即即可选择【解析】如图，过梯子中点O作地面于点D，又，根据题意O为中点，整理得：故y与x的函数关系为一次函数关系故选
13、B【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质以及一次函数的实际应用作出辅助线构成相似三角形是解答本题的关键6C【分析】根据在同一时刻物高和影长比值相同，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可【解析】解：延长AC交BD延长线于点E，根据物高与影长成正比得：，CD=1，解得：DE=0.9，则BE=2.7+0.9=3.6米，ABCD，ABECDE，即，解得：AB=4，即树AB的高度为4米，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长71【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可【解析】解：
14、在矩形中：，故答案为：1【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键8【分析】根据勾股定理求出，根据/，得到，即可求出的长【解析】解：四边形是矩形，/，在中，是中点，/，故答案为：【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键94【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答【解析】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，由相似三角形的性质得到：解得x4即蜡烛火焰的高度是4cm故答案为：4【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数
15、学问题10A=CBD或ABC=BDC或或BC2=ACDC（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似据此解答即可【解析】解：C=C添加A=CBD或ABC=BDC或或BC2=ACDC故答案为：A=CBD或ABC=BDC或或BC2=ACDC（答案不唯一）【点睛】此题考查了补充条件使两个三角形相似解题的关键是熟知相似三角形的判定定理，特别注意用对应边成比例和一个角相等判定三角形相似的时候，其中相等的角一定要是这两条边的夹角11答案不唯一，如：【分析】根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可【解析】DBA=CBA，
16、根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，添加的条件是DB：BA=AB：BC； DBA=CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，添加的条件是；故答案为：DB：BA=AB：BC或【点睛】本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键124【分析】根据三角形中位线的性质可得DEBC，DE=BC，从而证出ADEABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出ABC的面积【解析】解：D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，DEBC，DE=BCADEABCADE的面积为1ABC的面积为4故答案为：4【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质和相似三角形的
17、判定及性质，掌握三角形中位线的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键1314【分析】利用同时同地物的高与影长成正比列式计算即可【解析】解：设旗杆高度为xm由題意得， 解得：x=14故答案为14【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握同时同地物高与影长成正比例是解答本题的关键14【分析】在ABCD中，ABCD，AB=CD，根据DE=DC，可得AB=CD=DE=CE，再由ABCD，可得ABFCEF，对应边成比例即可求得结论【解析】解：在ABCD中，ABCD，AB=CD，DE=DC，AB=CD=DE=CE，ABCD，ABFCEF，故答案为：【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质
18、，解题关键是掌握并运用了相似三角形的判定与性质15（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解【解析】（1）证明：是的直径，；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，点O是BG的中点，的半径为5，【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键16（1），理由见详解；（2），理由见详解【分析】（1）由题意及旋转的性质易得，然后可证，进而问题可求解；（2）过点E作EHAB
19、，垂足为点Q，交AB于点H，由（1）可得，易证，进而可得，然后可得，最后根据相似三角形的性质可求证【解析】（1）证明：，由旋转的性质可得，点M为BC的中点，；（2）证明：，理由如下：过点E作EHAB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：，由（1）可得，【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键17（1）见解析；（2）2【分析】（1）连接OD，根据CD是O的切线，可推出ADC+ODA=90，根据OFAD，AOF+DAO=90，根据OD=OA，可得
20、ODA=DAO，即可证明；（2）设半径为r，根据在RtOCD中，可得，AC=2r，由AB为O的直径，得出ADB=90，再根据推出OFAD，OFBD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，求出OF，即可求出EF【解析】（1）证明：连接OD，CD是O的切线，ODCD，ADC+ODA=90，OFAD，AOF+DAO=90，OD=OA，ODA=DAO，ADC=AOF；（2）设半径为r，在RtOCD中，OA=r，AC=OC-OA=2r，AB为O的直径，ADB=90，又OFAD，OFBD，OE=4，【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90，灵活运用知
21、识点是解题关键18(1)见解析(2)【分析】（1）过点作于，根据同旁内角互补证得，可证得，利用可证得，则可证得，根据切线的判定即可求证结论（2）根据角相等即可得，利用相似三角形的性质即可求解【解析】(1)过点作于，如图所示，在和中，且为的半径，是的半径，是的切线(2)，解得，的长为【点睛】本题考查了切线判定、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，切线的判定及相似三角形判定及性质是解题的关键19(1)见解析(2)【分析】(1)首先根据等边对等角可证得，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论； (2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得，即可证得，再根据
22、相似三角形的性质即可求得【解析】(1)证明： (2)解：如图：连接BE是的直径，AB=4，是的切线 又 又 ，解得【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得是解决本题的关键20(1)见解析(2)3【分析】（1）连接OD，证明CDOCBO（SSS），得COD=COB，即BOD=2COB，又因为OD=OA，得OAD=ODA，所以BOD=OAD+ODA=2OAD，即可证得COB=OAD，即可由平行线的判定定理，得出结论；（2）由FA=FE，得FAE=FEA，又由（1）知：COB=OAD，所以COE=CEO，则CO=CE，又
23、由切线的性质得OBCB，根据等腰三角形“三线合一”性质得OB=BE=2，从而求出AE=6，OE=4，再由切线性质得CB=CD=4，然后在RtCBE中，由勾股定理，得CF=，最后证EOCEAF，得，即，可求得FE=3，即可由FA=FE得出答案【解析】(1)证明：如图，连接OD，CB，CD分别与相切于点B，D，CD=CB，OD=OB，OC=OC，CDOCBO（SSS），COD=COB，即BOD=2COB，OD=OA，OAD=ODA，BOD=OAD+ODA=2OAD，2COB=2OAD，即COB=OAD，FAOC；(2)解：FA=FE，FAE=FEA，由（1）知：COB=OAD，COE=CEO，CO
24、=CE，CB是O的切线，OBCB，OB=BE=2，OA=OB=2，AE=6，OE=4，CB、CD是O的切线，CB=CD=4，在RtCBE中，由勾股定理，得CE=，FAOC，EOCEAF，即，FE=3，FA=FE=3【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键21(1)见解析；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；【分析】（1）根据要求作出图形即可（2）先证明四边形EGBH是平行四边形，再通过平行线分线段成比例定理来解决问题【解析】(1)补全图形如下图所示：(2)证明：EH=BG，BH=EG，四
25、边形EGBH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），即ACAB=AEAGAE=EF=FG，AE=AGAC=CD=DB故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型22(1)见解析(2)，【分析】（1）连接OD，用垂径定理的推论和切线性质定理证明；（2）设OD与AC交点为F，连接AD，根据BAC的余弦值和勾股定理求出AB，BC的长，证明E=BAC，EDO=ACB，得到ABCEOD，根据相似比求出DE的长；根据三角形中位线定理求出OF的长，得到DF的长
26、，用勾股定理求出AD的长，最后用CAD=CBD的余弦值求出BP的长【解析】(1)连接OD，点D是的中点，ODAC，DE是O切线，DEOD，DEAC(2)设OD与AC交点为F，连接AD，则CAD=CBD，DEAC，E=OCA，OA=OC，OAC=OCA，OAC=E，AB是O的直径，ACB=90，ACB=EDO=90，ABCEOD，AC=8，AB=10，OD=5，DF=OD-OF=5-3=2，【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是连接OD，AD，熟练运用上述性质和判定定理解答23（1
27、）2：1；（2）【分析】（1）根据菱形的性质结合相似三角形的判定和性质求解；（2）根据菱形的性质及勾股定理的逆定理判定AED=90，然后利用特殊角三角函数值计算求解【解析】解：（1）四边形ABCD是菱形，ABCD，AB=CDABFDEF 点E是CD的中点，AB=CD=2DEBF：DF=2：1 （2） 连接AC四边形ABCD是菱形，AB=ADAB=2，AD=2，DE=1AE=，=+。AED=90 sinADE=，ADE=60在菱形ABCD中，BD为对角线，ADB=ADE=30 连接AC，交BD于点O 四边形ABCD是菱形， ACBD，OB=OD AO=AD=1 在RtAOD中，由勾股定理，得OD
28、=BD=2OD=2【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键24（1）证明过程见解析；（2）【分析】（1）连接OB，OC，证明OE垂直平分BC，OE是的角平分线，得到，再根据圆周角定理求解即可；（2）根据已知条件证明，再利用勾股定理求解即可；【解析】（1）连接OB，OC，是的切线， ， ，弦BC， OE垂直平分BC，OE是的角平分线，为弧BC所对的圆周角，为弧BC所对的圆心角，；（2），OE垂直平分BC， 在中，【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，锐角三角函数的应用，结合相似三角形的判定与性质、勾股定理求解是解题的关键25（
29、1）见解析；（2）7【分析】（1）证明：如图，连接OA由与相切，切点为A，OA为的半径，可得由，C为的中点，可得即可；（2）如图，连接设的半径为r由O为的中点，C为的中点， 可得，可证AFEDFO，可得 ， 解得即可【解析】（1）证明：如图，连接OA与相切，切点为A，OA为的半径，C为的中点，；（2）解：如图3，连接设的半径为rO为的中点，C为的中点， ，=90，AFEDFO，在中 在中，化简，得，解得经检验，是原方程的解【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程，掌握圆的切线性质，直径所对圆
30、周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程是解题关键26（1）；（2）；（3）【分析】（1）把点代入直线，即可解题；（2）把代入，直线得到点，再把点代入双曲线中解题即可；（3）联立一次函数与反比例函数的解析式，求得公共解，得到点A、B的坐标，过点作轴于点E，轴于点G,轴于点F，轴于点H，再利用相似三角形的对应边成比例解题即可【解析】解：（1）直线与x轴的交点为， ；（2）由（1）得直线，直线与双曲线的一个交点为A，把代入，直线得，点A的坐标为，解得；（3）如图，过点作轴于点E，轴于点G,轴于点F，轴于点H，得直线与双曲线有两个不同交
31、点A，B整理得，且【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、待定系数法解反比例函数解析式、公式法解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键27（1）图形见解析，之间的数量关系是；（2）；（3）【分析】（1）画出图形即可证得ABC是等边三角形，以BD为边向外作等边BDE，利用SAS可证明ABECBD故AE=CD，运用勾股定理即可的出答案；（2）过点A作，且，利用勾股定理可得，利用SAS可证明，可得运用勾股定理在中，即可得出答案；（3）以BD为底边构造等腰BDE，使 ，连接AE，CD，过点A作AHBC于点H，由两边成比例和它们的夹角相等可判定
32、ABCEBD，故ABC=ACB=EBD=EDB，可得ADE=90由BEDBAC可得：，进而证明EBADBC，可得 有三角函数可得推出，利用勾股定理，将AE、DE代入 即可得出答案【解析】解：（1） ，AB=ACABC=ACB=BAC=60ABC是等边三角形以BD为边向外作等边BDE连接AE，CDABC，BDE都是等边三角形BA=BC=AC，BD=BE=DEABC=DBE=60ABC+ABD=DBE+ABDCBD=ABE在ABE和CBD中 ABECBD（SAS）AE=CDADB=30，BDE=60ADE=ADB+BDE=90在RtADE中 即 故答案为：（2）如图，过点A作，且，连接可得，又，在
33、中， （3）以BD为底边构造等腰BDE使 ，连接AE，CD过点A作AHBC于点HAB=AC，BE=DE，BAC=BED= ABCEBDABC=ACB=EBD=EDB= = ADE=ADB+EDB=90BEDBAC EBD+ABD=ABC+ABDEBA=DBC EBADBC AB=AC，AHBC 同理 在RtADE中 即故答案为：【点睛】本题考查了三角函数，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，难度系数较大，准确画出图形，运用好三角函数，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识点是解体的关键28（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可求，可
34、得结论；（2）过点作于，设，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长，通过证明，可求的长，由等腰三角形的性质可求的长【解析】解：(1) 证明：如图，连结，则，而，即即，故是的切线（2） ， 在RtACP中，设AP=x，AC=2x ， ，由勾股定理，得即 解得 AP=2 过作于，在和中，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题关键29（1）见解析；（2）.【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得ACE+A=90，又CDE+A=90，可得CDE=ACE，则结论得证；（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明RtAO
35、DRtACB，得出比例线段即可求出AC的长【解析】（1）证明：连接，与相切，是的半径，.，.，.，.（2）为直径，.在中，又，又，.，.在中，.在中，.在和中，即，.【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质30（1），（2）图见解析（3）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 4.8【分析】（1）通过证明ABCACD，得到，再把相关数据代入求解即可；（2）用平滑的曲线将平面直角坐标系上的点连接起来即可；（3）观察图象，写出其性质即可；（4）观察图象，找出y的最小值对应的x，即可求出AB+AD的最小值.【解析】（1）平分，又，ABCACD, 故答案为：，（2）如图所示：（3）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 故答案为：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）AB+AD=x+观察图象可得，y有最小值时，x约为0.7， 故AB+AD的最小值约为：x+=0.7+故答案为：4.8【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题