1、第第1 1章三角形的初章三角形的初步认识步认识 一选择题（共一选择题（共10小题）小题） 1下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A4，6，10 B3，6，7 C5，6，12 D2，3，6 2在ABC中，ACB，那么ABC是（ ） A等边三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形 3如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明AOBAOB的依据是（ ） ASAS BSSS CAAS DASA 4如图ABAD，ABBC，则以AB为一条高线的三角形共有（ ）个 A1 B2 C3 D4 5如图，在ABC中，C90，ACBC，AD是ABC的角平分线，DEAB于E若AB6cm，则D
2、EB的周长为（ ） A5cm B6cm C7cm D8cm 6如图所示，BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对 A2 B3 C4 D5 7下列是命题的是（ ） A作两条相交直线 B和相等吗？ C全等三角形对应边相等 D若a24，求a的值 8下列命题中，真命题是（ ） A垂直于同一直线的两条直线平行 B有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 C三角形三个内角中，至少有2个锐角 D有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 9如图，对任意的五角星，结论正确的是（ ） AA+B+C+D+E90 BA+B+C+D+E180 CA+B+C+D
3、+E270 DA+B+C+D+E360 10如图，BF是ABD的平分线，CE是ACD的平分线，BF与CE交于G，若BDC130，BGC100，则A的度数为（ ） A60 B70 C80 D90 二填空题（共二填空题（共8小题）小题） 11把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果，那么”的形式是 12 如图， 已知ABCADE， DAC60， BAE100， BC、 DE相交于点F， 则DFB的度数是 度 13将两块分别含有30和45角的直角三角板按如图所示叠放，若12，则3 14如图ABDC，若要证明ABCDCB，需要补充的一个条件是 （写出一个即可） 15如图，将面积
4、相等的正方形ABCD和直角三角形CEF叠放在一起，则图中阴影部分的面积是 （用含a、b的代数式表示） 16举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题 17如图：ABCDEF，BC7，EC4，那么CF的长为 18如图，已知AD，EFBC，请在空格上添加一个适当的条件，使得ABCDEF，则添加的这个条件是 （只要填上一个满足的条件即可，多填不多给分） 三解答题（共三解答题（共6小题）小题） 19王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ACBC，ACB90），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合 （1）求证：ADC
5、CEB； （2）求两堵木墙之间的距离 20小明想知道一堵墙上点A的高度（AOOD），但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角ABO； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到 标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量 的长度，即为点A的高度 说明理由： 21已知：两边及其夹角，线段a，c， 求作：ABC，使BCa，ABc，ABC（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 请你根据所学的知识，说明尺规作图作出ABC，用到的是三角形全等判定定理中的 ，作出的ABC是唯一的，依据是三角形全
6、等判定定理中的 22如图，点A、B、C、D在一条直线上，ABCD，AFBD，CEDF，求证：CEDF 23在ABC中，ADBC于点D，点E为AD上一点，连接CE，CEAB，EDBD （1）求证：ABDCED； （2）若ACE22，则B的度数为 24如图，点C在线段BD上，ABBD于B，EDBD于DACE90，且AC5cm，CE6cm，点P以2cm/s的速度沿ACE向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿ECEC运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与QCN全等时，求t的
7、值 第第1 1章三角形的初章三角形的初步认识步认识 一选择题（共一选择题（共10小题）小题） 1下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A4，6，10 B3，6，7 C5，6，12 D2，3，6 【分析】三角形的任意两边之和都大于第三边，根据以上定理逐个判断即可 【解答】解：A、4+610，不符合三角形三边关系定理， 以4、6、10为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误； B、3+67，6+73，3+76，符合三角形三边关系定理， 以3、6、7为三角形的三边，能组成三角形，故本选项正确； C、5+612，不符合三角形三边关系定理， 以5、6、12为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错
8、误； D、2+36，不符合三角形三边关系定理， 以2、3、6为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误； 故选：B 【点评】本题考查了对三角形三边关系定理的应用，能熟记三角形三边关系定理的内容是解此题的关键 2在ABC中，ACB，那么ABC是（ ） A等边三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形 【分析】根据三角形内角和定理得到A+B+C180，则A+B180C，由ABC变形得A+BC，则180CC，解得C90，即可判断ABC的形状 【解答】解：A+B+C180， C+B180A， 而ACB， C+BA， 180AA，解得A90， ABC为直角三角形 故选：D 【点评】本题考查了三角
9、形内角和定理：三角形的内角和为180，直角三角形的判定，熟记掌握三角形的内角和是解题的关键 3如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明AOBAOB的依据是（ ） ASAS BSSS CAAS DASA 【分析】由作法易得ODOD，OCOC，CDCD，根据SSS可得到三角形全等 【解答】解：由作法易得ODOD，OCOC，CDCD，依据SSS可判定CODCOD，得到AOBAOB 故选：B 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理 4如图ABAD，ABBC，则以AB为一条高线的三角形共有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】由于ABAD，ABBC，
10、根据三角形的高的定义，可确定以AB为一条高线的三角形的个数 【解答】解：ABAD，ABBC， 以AB为一条高线的三角形有ABD，ABE，ABC，ACE，一共4个 故选：D 【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活 5如图，在ABC中，C90，ACBC，AD是ABC的角平分线，DEAB于E若AB6cm，则DEB的周长为（ ） A5cm B6cm C7cm D8cm 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CDDE，然后求出DEB的周长AB即可得解 【解答】解：AD是ABC的角平分线，DEAB， CDDE， DEB的周长BD
11、+DE+BE， BD+CD+BE， BC+BE， AC+BE， AE+BE， AB， AB6cm， DEB的周长6cm 故选：B 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键 6如图所示，BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对 A2 B3 C4 D5 【分析】 从最简单的开始找， 因为图形对折， 所以首先CDBCDB， 由于四边形是长方形所以， ABDCDB进而可得另有2对，分别为：ABECDE，ABDCDB，如此答案可得 【解答】解：BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，
12、 CDCD，BCBC， BDBD， CDBCDB（SSS）， 同理可证明：ABECDE，ABDCDB，ABDCDB三对全等 所以，共有4对全等三角形 故选：C 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角做题时要由易到难，循序渐进 7下列是命题的是（ ） A作两条相交直线 B和相等吗？ C全等三角形对应边相等 D若a24，求a的值 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断 【解答】解：A、“作两条相交直线”为描叙性语言
13、，它不是命题，所以A选项错误； B、“和相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以A选项错误； C、全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确； D、“若a24，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误 故选：C 【点评】 本题考查了命题与定理： 判断一件事情的语句， 叫做命题 许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 8下列命题中，真命题是（ ） A垂直于同一直线的两条直线平行 B有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 C三角形三个内角中，至少有2个锐
14、角 D有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 【分析】利用垂线的性质、全等三角形的判定、锐角的性质分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故错误，为假命题； B、有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，应该是两个锐角三角形或钝角三角形全等故错误，为假命题； C、三角形的三个角中，至少有两个锐角，故正确，为真命题； D、有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等，错误，为假命题， 故选：C 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂线的性质、全等三角形的判定、锐角的性质，难度不大 9如图，对任意的五角星，结论正确的是（ ） AA
15、+B+C+D+E90 BA+B+C+D+E180 CA+B+C+D+E270 DA+B+C+D+E360 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得到12+D，2A+C，根据三角形内角和定理得到答案 【解答】解：12+D， 2A+C， 1A+C+D， 1+B+E180， A+B+C+D+E180， 故选：B 【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键 10如图，BF是ABD的平分线，CE是ACD的平分线，BF与CE交于G，若BDC130，BGC100，则A的度数为（ ） A60 B70 C80 D90
16、【分析】根据三角形内角和定理可求得DBC+DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得ABC+ACB的度数，从而不难求得A的度数 【解答】解：连接BC BDC130， DBC+DCB18013050， BGC100， GBC+GCB18010080， BF是ABD的平分线，CE是ACD的平分线， GBD+GCDABD+ACD30， ABC+ACB110， A18011070 故选：B 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键 二填空题（共二填空题（共8小题）小题） 11把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“
17、如果，那么”的形式是 “在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行” 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答 【解答】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果，那么”的形式， 是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”， 故答案为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行” 【点评】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论 12如图，已知ABCADE，DAC60，BAE100，BC、DE
18、相交于点F，则DFB的度数是 20 度 【分析】 根据全等三角形的性质得到BD， BACDAE， 求出BAD， 根据三角形内角和定理计算，得到答案 【解答】解：ABCADE， BD，BACDAE， BADCAE（10060）20， BD，BGADGF， DFBBAD20， 故答案为：20 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键 13将两块分别含有30和45角的直角三角板按如图所示叠放，若12，则3 67.5 【分析】根据等角的余角相等得到34，再根据三角形内角和定理和5的度数即可得到结论 【解答】解：如图，1+32+490，12， 34， 545， 34（
19、18045）67.5， 故答案为：67.5 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键 14如图ABDC，若要证明ABCDCB，需要补充的一个条件是 ACDB或ABCDCB （写出一个即可） 【分析】由图形可知BC为公共边，则可再加一组边相等或一组角相等，可求得答案 【解答】解：ABDC，BCCB， 可补充ACDB， 在ABC和DCB中， ， ABCDCB（SSS）； 可补充ABCDCB， 在ABC和DCB中， ， ABCDCB（SAS）， 故答案为：ACDB或ABCDCB 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、AS
20、A、AAS和HL 15如图，将面积相等的正方形ABCD和直角三角形CEF叠放在一起，则图中阴影部分的面积是 ab （用含a、b的代数式表示） 【分析】由题意可知，正方形ABCD的面积非阴影的面积直角三角形CEF非阴影的面积，进而即可求得阴影部分的面积 【解答】解：由题意可知正方形ABCD的面积非阴影的面积直角三角形CEF非阴影的面积， 阴影的面积2abab， 故答案为ab 【点评】本题考查了三角形的面积，根据题意得出正方形ABCD的面积非阴影的面积直角三角形CEF非阴影的面积是解题的关键 16举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题 两个不相等的角互为补角， 这两个角一个角大于90，一个
21、角小于90， 即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可 【解答】解：两个不相等的角互为补角， 这两个角一个角大于90，一个角小于90， 即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题； 故答案为：两个不相等的角互为补角， 这两个角一个角大于90，一个角小于90， 即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题 【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤 17如图：ABCDEF，BC7，EC4，那么CF的长为 3 【分析】利用全等三角形的性质可得EFBC7，再解即可 【解答】解：AB
22、CDEF， EFBC7， EC4， CF3， 故答案为：3 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等 18如图，已知AD，EFBC，请在空格上添加一个适当的条件，使得ABCDEF，则添加的这个条件是 ACDF或AFCD （只要填上一个满足的条件即可，多填不多给分） 【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可 【解答】解：EFBC， EFDACB， DA， 当DFAC时，ABCDEF（ASA）， 可以添加条件：ACDF或AFCD 故答案为：ACDF或AFCD 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 三解答题（共三解答题（
23、共6小题）小题） 19王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ACBC，ACB90），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合 （1）求证：ADCCEB； （2）求两堵木墙之间的距离 【分析】 （1） 根据题意可得ACBC， ACB90， ADDE， BEDE， 进而得到ADCCEB90，再根据等角的余角相等可得BCEDAC，再证明ADCCEB即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答 【解答】（1）证明：由题意得：ACBC，ACB90，ADDE，BEDE， ADCCEB90， ACD+BCE90，ACD+DAC90
24、， BCEDAC 在ADC和CEB中， ADCCEB（AAS）； （2）解：由题意得：AD236（cm），BE7214（cm）， ADCCEB， ECAD6cm，DCBE14cm， DEDC+CE20（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件 20小明想知道一堵墙上点A的高度（AOOD），但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角ABO； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到 OCD ABO 标记此
25、时直杆的底端点D； 第三步：测量 OD 的长度，即为点A的高度 说明理由： 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论 【解答】解：OCD，ABO，OD； 理由：在AOB与DOC中， AOBDOC（AAS）， OAOD 故答案为：OCD，ABO，OD 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键 21已知：两边及其夹角，线段a，c， 求作：ABC，使BCa，ABc，ABC（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 请你根据所学的知识，说明尺规作图作出ABC，用到的是三角形全等判定定理中的 SSS ，作出的ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的 S
26、AS 【分析】先利用“SSS”作ABC，再分别截取BAc，BCa，从而得到ABC，并且利用“SAS”可判断ABC是唯一的 【解答】解：如图，ABC为所作； 用到的是三角形全等判定定理中的 “SSS” ， 作出的ABC是唯一的， 依据是三角形全等判定定理中的 “SAS” 故答案为SSS，SAS 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了全等三角形的判定 22如图，点A、B、C、D在一条直线上，ABCD，AFBD，CEDF，求证：CEDF 【分析】依题意可求证AECBFD易求CEDF 【解答】证明：A
27、BCD， AB+BCCD+BC， ACBD， CEDF， DECA， 在AEC与BFD中， ， AECBFD（ASA）， CEDF 【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL 23在ABC中，ADBC于点D，点E为AD上一点，连接CE，CEAB，EDBD （1）求证：ABDCED； （2）若ACE22，则B的度数为 67 【分析】（1）由SAS证明ABDCED即可； （2）由全等三角形的性质，即可得出答案 【解答】证明：（1）ADBC， ADBCDE90， 在RtADB与RtCDE中， ， RtADBRtCDE（HL）； （2）RtAD
28、BRtCDE， ADCD， ADC是等腰直角三角形， ACD45， ECDACDACE452223， CED902367， BCED67， 故答案为：67 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 24如图，点C在线段BD上，ABBD于B，EDBD于DACE90，且AC5cm，CE6cm，点P以2cm/s的速度沿ACE向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿ECEC运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与QCN全等时，求t的值 【分析】分三种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解 【解答】解：当点P在AC上，点Q在CE上时， 以P，C，M为顶点的三角形与QCN全等， PCCQ， 52t63t， t1， 当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时， 以P，C，M为顶点的三角形与QCN全等， PCCQ， 52t3t6， t， 当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时， 以P，C，M为顶点的三角形与QCN全等， PCCQ， 2t5183t， t， 综上所述：t的值为1或或 【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定和用分类讨论的思想解决问题是本题的关键