1、24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 教学目标：教学目标： (1) 知识与技能 理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明； (2) 过程与方法 进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； (3)情感态度与价值观 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱 教学重点、难点：教学重点、难点： 重点：重点：垂径定理及应用；从感性到理性的学习能力 难点：难点：垂径定理的证明 教学学习活动设计：教学学习活动设计： （一）实验活动，提出问题：（一）实验活动，提出问题： 1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴
2、对称、中心对称、旋转不变性. 2、 提出问题： 老师引导学生观察、 分析、 发现和提出问题. 通过“演示实验观察感性理性”引出垂径定理 （二）垂径定理及证明： 已知：在O 中，CD 是直径，AB 是弦，CDAB，垂足为 E 求证：AE=EB 证明：连结 OA、OB，则 OA=OB又CDAB，直线 CD 是等腰OAB 的对称轴，又是O 的对称轴所以沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，A 点和 B 点重合，AE 和 BE 重合，因此，AE=BE从而得到圆的一条重要性质 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD 为O 的直径，
3、CDAB AE=EB. 为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧. 加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混. （三）应用和训练 例 1、已知在O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求O 的半径 分析：要求O 的半径，连结 OA，只要求出 OA 的长就可以了，因为已知条件点 O 到 AB 的距离为 3cm，所以作 OEAB 于 E，而 AEEBAB=4cm此时解 RtAOE 即可 解：连结 OA，作 OEAB 于 E 则 AE=EB AB=8cm，AE=4cm 又OE=3cm，O 的半
4、径为 5cm 说明：学生独立完成，老师指导解题步骤；应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径 r、弦心距 d、弓形高 h 关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2 例 2、 已知： 在以 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于 C、 D 两点 求证 AC=BD（证明略） 说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成 练习 1：教材 P82 中练习 1，2 两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流 指导学生归纳：构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距. （四）小节
5、与反思 (1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用 方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧 （五）作业 教材 P90 中 11、12 课时作业设计课时作业设计 一、选择题一、选择题 1如图 1，如果 AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，那么下列结论中，错误的是（ ） ACE=DE B CBAC=BAD DACAD 12BCBD (1) (2) (3) 2如图 2，O 的直径为
6、10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ） A4 B6 C7 D8 3 如图 3， 在O 中， P 是弦 AB 的中点， CD 是过点 P 的直径， 则下列结论中不正确的是 （ ） AABCD BAOB=4ACD C DPO=PD 二、填空题二、填空题 1如图 4，AB 为O 直径，E 是中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则 AC=_ (4) (5) 2P 为O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；最长弦长为_ 3如图 5，OE、OF 分别为O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_（只需
7、写一个正确的结论） 三、综合提高题三、综合提高题 1如图 24-11，AB 为O 的直径，CD 为弦，过 C、D 分别作 CNCD、DMCD，分别交 AB 于N、M，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由 BACEDOBAOMBACDPOADBDBCBACEDOBACEDOFBACEDOF 2如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦 CD 长 3 （开放题）AB 是O 的直径，AC、AD 是O 的两弦，已知 AB=16，AC=8，AD=8，求DAC的度数 答案答案: : 一、1D 2D 3D 二、18 28 10 3AB=CD 三、1AN=BM 理由：过点 O 作 OECD 于点 E，则 CE=DE，且 CNOEDM ON=OM，OA-ON=OB-OM， AN=BM 2过 O 作 OFCD 于 F，如右图所示 BACDONMBACEDOAE=2，EB=6，OE=2， EF=，OF=1，连结 OD， 在 RtODF 中，42=12+DF2，DF=，CD=2 3 （1）AC、AD 在 AB 的同旁，如右图所示: AB=16，AC=8，AD=8， AC=（AB） ，CAB=60， 同理可得DAB=30， DAC=30 （2）AC、AD 在 AB 的异旁，同理可得：DAC=60+30=90 315153121212