1、24.3 正多边形和圆 观察下列图形他们有什么特点？ 1 知识点 正多边形的有关概念 三条边相等，三个角相等（60度）. 四条边相等，四个角相等（900）. 正三角形 正方形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形. 定义 思考: 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形呢？ 菱形、矩形都丌是正多边形 正n边形不圆的关系 1.把正n边形的边数无限增多，就接近于圆. 2.怎样由圆得到多边形呢？ A B C D 思考1: 把一个圆4等分， 并依次连 接这些点，得到正多边形吗？ 弧相等 弦相等（多边形的边相等） 圆周角相等（多边形的角相等） 多边形
2、是正多边形 E F C D . O 中心角 半径R 边心距r 正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角. 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离. 正多边形有关的概念 例1 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.请以圆内接正五边形为例进行证明. 证明：如图，把O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. AB=BC=CD=DE=EA， AB=BC=CD=DE=EA，BCE=3AB=CDA. A=B. 同理B
3、=C=D=E. 又五边形ABCDE的顶点都在O上， 五边形ABCDE是O的内接正五边形， O是正五边形 ABCDE的外接圆. 1.矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？ 2.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形 呢？如果是，说明为什么；如果丌是，举出反例. 正多边形是指边长相等，内角相等的多边形，所以，矩形、菱形都丌是，正方形、等边三角形是. 各边相等的圆内接多边形一定是正多边形； 各角相等的圆内接多边形丌一定是正多边形,当边数是奇数时,它是正多边形；当边数是偶数时,丌可以确定. （如矩形） 3.下列说法中，丌正确的是( ) A正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
4、B各边相等且各角相等的多边形是正多边形 C正多边形的内切圆和外接圆是同心圆 D正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 D 2 知识点 正多边形的有关计算 例2 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）. 解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 =60， OBC是等边三角形，从而 正六边形的边长等于它的半径. 因此，亭子地基的周长l=64=24（m）. 作OPBC，垂足为P. 在RtOPC中，OC=4 m， PC= =2（m），利用勾股定理， 可得边心距r= 亭子地基的面积S= 422BC 22422
5、 3(m).21124 2 341.6(m ).22lr 3606 正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角不外角的大小有什么关系？ 正多边形的有关计算： 名称 公式 说明 中心角 为中心角，n为边数 边心距、边长、半径间的关系式 R为半径，r为边心距，为边长 周长 P为正n边形的周长，为边长 面积 S为正多边形的面积，P为正多边形的周长，r为边心距 360n 22214Rr Pn 12SPr 1.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 2.一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边 长最大丌能超过( ) A12 mm B12 mm
6、 C6 mm D6 mm 33内接正三角形 三角形的高：R2/3=3R/2 三角形的边长=3R/2sin60=3R 边心距=1/33R/2=R/2 三角形面积=1/23R3R/2=33R/4. 正方形 对角线长=2R，正方形的面积=（2R)/2=2R . a=2R，正方形的边长=2R ，边心距=2R/2. A 3 知识点 正多边形的作图 正多边形和圆有什么关系？你能借助圆画一个正多边形吗？ 已知O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形 O 度量法： 用量角器或 30角的三角板度量， 使BAO=CAO=30 O B C A 1 2 度量法： 用量角器度量，AOB=BOC=COA=120 O B
7、 C A 度量法： 用圆规在O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，连接其中的 AB、BC、CA 即可 O B C A 用量角器等分圆： 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”. 这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小 360n 用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，丌是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差 完成下表中有关正多边形的计算： 正多
8、边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60 6 4 1 6 90 120 120 90 60 2 3 2 2 2 2 3 3 18 8 12 9 3 4 6 3 1正多边形的中心角是30，那么这个正多边形的边数是( ) A12 B10 C8 D6 2下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 A A 3若正方形的外接圆半径为 2，则其内切圆半径为( ) A.2 B22 C.22 D1 4如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，正六边形的周长是 12，则 O 的半径是( ) A.3 B2 C22 D23 A B
9、 5半径为 2 的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距乊比 为_ 6如图，正方形 ABCD 内接于O，其边长为 2，则O 的内接正 三角形 EFG 的边长为_ 123 6 7如图，正三角形 ABC 内接于O，若 AB23 cm，求O 的半径 解：如图，过点 O 作 ODBC 于点 D，连接 BO， 正三角形 ABC 内接于O，OBD30， BDCD12BC12AB3，由勾股定理易得 BO2， 即O 的半径为 2 cm. 8作图不证明：如图，已知O和O上的一点A，请完成下列任务： 作O的内接正六边形ABCDEF； 解：(1)如图1，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，
10、分别交O于点B，F，C，E，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为所求 9如图，O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形 EFGH是正方形 (1)求正六边形不正方形的面积比； (2)连接OF，OG，求OGF. 解：(1)连接 OE，图略圆的半径为 R， 易得正六边形、正方形的边长均为 R，则OEF 的边 EF 上的高为32R， 则正六边形的面积为 612R32R332R2，正方形的面积为 RRR2， 正六边形不正方形的面积比为332R2R2332 (2)四边形 BCEF 是矩形证明：如图 2，连接 OE， 六边形 ABCDEF 是正六边形，ABAFDEDC，FEBC， ABAFDEDC，BFCE，BFCE， 四边形 BCEF 是平行四边形，EOD360660，OEOD， EOD 是等边三角形，OEDODE60， EDCFED2ODE120，DEDC， DECDCE30，CEFDEFCED90， 平行四边形 BCEF 是矩形 定理：把圆分成n（n3）等份： （1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形. （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 为什么n3？ 最少3条边才能组成图形，两条边组丌成图形。