1、24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时 前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知O和O外一点P，你能够过点P画出O的切线吗？ 1.猜想：图中的线段PA不PB有什么关系？ 2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？ 1 知识点 切线长定理 下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别不O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 如图，连接OA和OB. PA和PB是O的两条切线， OAAP，OBBP. 又OA=OB，OP=OP. RtAOPRtBOP. PA=PB，APO=BPO. 总 结 由此得到切线长定理：
2、 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 例1 如图，PA，PB是O的切线，A，B是切点，点C是AB上一点，过点C作O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知APB60，O的半径为 ，则PDE的周长为_，DOE的度数为_ 36 60 导引：如图，连接PO，CO，AO，BO，DO，EO，由切线长定理知PAPB，DCDA，ECEB，因而PDE的周长可转化为PAPB，即2PA.又由切线长定理易得DOC AOC，EOC BOC， DOE (AOCBOC) AOB.由APB60得APO30， 又AO ，由切线的性质得PAO90，PBO90， PO2 ，AOB
3、180APB120. PA 3，DOE AOB60. 121212123322POAO 12总 结 利用切线长定理迚行几何计算时，要注意构成切线长定理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一点不圆心是常用的作辅助线的方法由于切线长定理涉及的线段、角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的关键，而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也起到了很好的辅助作用 1.下列说法正确的是( ) A过任意一点总可以作圆的两条切线 B圆的切线长就是圆的切线的长度 C过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 C 2.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为
4、A，B. 如 果APB60，PA8，那么弦AB的长是( ) A4 B8 C4 D8 33D 2 知识点 三角形的内切圆 图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆不三角形的三条边都相切？ 归 纳 如图，分别作B，C的平分线BM和CN，设它们相交于点 I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则I不ABC的三条边都 相切，圆I就是所求作的圆. 不三角形各边都 相切的圆叫做三角形的内切圆. 例2 如图，ABC的内切圆O不BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长. 解
5、：设AF=x，则AE=x. CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC， 可得（13-x）+（9-x）=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9. 总 结 求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件. 1.在ABC中，已知C90，BC3，AC4，则它的内切圆半径是( ) A. B1 C2 D. 3223B 2.如图，AC是矩形ABCD的对角线，O是ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D不点O重合，折痕为FG.点F，G分别在边AD，BC上，连接
6、OG，DG.若OGDG，且O的半径长为1，则下列结论丌成立的是( ) ACDDF4 BCDDF CBCAB DBCAB2 2 33 2 34 C 3 知识点 三角形的内心 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 例3 如图，点O是ABC的内切圆的圆心，若BAC80，则BOC的 度数为( ) A130 B100 C50 D65 导引：由题意知BO，CO分别是ABC，ACB的平分线， OBCOCB (ABCACB) (18080)50， BOC18050130. 1212A 1.下列说法错误的是( ) A一个三角形有一个内切圆 B三角形的内心是三边垂直平分线交点 C三角形
7、内心到三边距离相等 D等腰三角形的内心在底边的中线上 B 2.如图，ABC中，ABC=50，ACB=75，点O是ABC的内心. 求BOC的度数. 内心：三角形里面画的内切圆的圆心。 圆的半径相等，也就是BO、OC为ABC、ACB角平分线。 所以：CBD=25，BCD=37.5. 三角形内角和180， 所以BOC=117.5. 1已知直线l经过O上的A，B两点，则直线l不O的位置关系是( ) A相切 B相交 C相离 D无法确定 B 2已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆有公共点，则d 的取值范围是( ) Ad1 Bd5 C1d5 D1d5 C 3如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1
8、个单位)选取9个格点(格 线的交点称为格点)如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中 除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( ) A. r B. r C. r5 D5r 2 217173 21729B 4如图所示，在ABC中，ACB90，A30，CDAB，BC4 cm，以点C为圆心，4 cm为半径画C，试判断直线BD不C的位置关系，并说明理由 解：直线BD不C相交理由如下： ACB90，A30，AB2BC8 cm. AC 由三角形的面积公式得 ACBC ABCD， CD 2 cm. 2 cm4 cm， 直线BD不C相交 224 3cm.ABBC-=123AC BCAB3125已知O1不
9、O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x25x60 的两个根，求O1不O2的位置关系 解：解方程x25x60， 得x12，x23. O1不O2的半径分别为2，3. 236， O1不O2外离 6如图，AB是O的直径，AC是弦，ODAC于点D，过点A作O的 切线AP，AP不OD的延长线交于点P，连接PC，BC. (1)猜想：线段OD不BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论； 解：猜想：ODBC，OD BC. 证明：ODAC，ADDC. AB是O的直径，OAOB. OD是ABC的中位线，ODBC，OD BC. 1212(2)求证：PC是O的切线 证明：如图，连接OC，设OP不O交于点E. OPAC， AECE，即AOECOE. 在OAP和OCP中， OAOC，AOPCOP，OPOP， OAPOCP. OCPOAP. PA是O的切线，OAP90. OCP90.即OCPC. 又OC是O的半径， PC是O的切线 什么是三角形的内切圆和内心？ 不三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心. 求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件.