1、24.1.4 圆周角 第3课时 前边我学习了圆的内接三角形，圆的内接三角形有哪些性质呢？今天我们探究的圆的内接四边形的性质，我们根据圆内接三角形的定义，想一想如何给圆内接四边形下定义呢？ 1 知识点 圆内接多边形 下面，我们探究四边形与圆的关系. 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如图，四边形ABCD为O的内接四边形，O为四边形ABCD的外接圆. 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆 定义 如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方
2、形 例1 分析：由圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得四边形ABCD的四个内角都是直角，即可判定四边形ABCD一定是矩形. 解：圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心， A=B=C=D=90， 四边形ABCD一定是矩形. 故选B. B 总 结 本题根据直径所对的圆周角是90来解答. 1.下列说法正确的是( ) A在圆内部的多边形叫做圆内接多边形 B过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆 C任意一个四边形都有外接圆 D一个圆只有唯一一个内接四边形 2.下列多边形中一定有外接圆的是( ) A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 B A
3、 2 知识点 圆内接四边形对角互补 如图，四边形ABCD为O的内接四边形. (1) 和 所对的圆心角之和等于多少度？ ABC和ADC之间具有怎样的关系？ (2)BAD和BCD之间具有怎样的关系？ 提出你的猜想，并和大家进行交流. ABCADC我们发现：圆内接四边形的对角互补. 下面我们对它进行证明. 已知：如图，四边形ABCD为O的内接四边形. 求证：BCD+BAD= 180， ABC+ADC= 180. 证明：如图，连接OB，OD. 与 所对的圆心角之和为360， BCD和BAD分别为 和 所对的 圆周角， BCD+BAD= 180. 同理可证，ABC+ADC=180. BADBCDBADB
4、CD 圆内接四边形的对角互补. 总 结 例2 已知：如图，四边形ABCD为O的内接四边形，DCE为四边 形ABCD的一个外角. 求证：DCE=BAD. 证明：四边形ABCD为O的内接四边形， BADBCD= 180. BCDDCE= 180， DCE=BAD. (1)在求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的对角的度数 (2)圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的两类圆周角 总 结 1.如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD100， 则BCD的度数为( ) A50 B80 C100 D130 D 2.在圆内接四边形ABCD中，已知
5、A70，则C等于( ) A20 B30 C70 D110 3. 下列命题： 圆内接平行四边形是矩形； 圆内接矩形是正方形； 圆内接菱形是正方形； 任意四边形一定有外接圆 其中真命题有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 D B 3 知识点 圆内接四边形的外角等于其内对角 推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 例3 如图，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCD的外角DCE= 70，则BAD的度数为( ) A.140 B.110 C.220 D.70 分析：根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答. 解：四边形ABCD内接于O， BADDCE70.故选D. D 此
6、题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接 四边形的外角等于它的内对角是解题的关键. 总 结 1.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若BAD105，则DCE_ 2.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且A55，E30，则F_. (第1题) (第2题) 105 40 1四边形ABCD的四个顶点都在O上，则四边形ABCD叫做_，O叫做四边形ABCD的_，圆内接四边形的对角_ O的内接四边形 外接圆 互补 2如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，点C为 的中点若A40，则ABC_ 70 BD 3如图，四边形ABCD是O的内接四边形，点D是 的中点
7、，点E是 上的一点，若CED40，则ADC_度 100 AC BC 4圆内接四边形的外角等于其_ 内对角 5如图，四边形ABCD内接于O，点E在BC的延长线上，若BOD120，则DCE_ 60 6如图，四边形ABCD内接于O，DADC，CBE50， 则DAC的大小为( ) A130 B100 C65 D50 C 7如图，四边形ABCD内接于O，点F为CD上一点，且 ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若ABC105，BAC25，则E的度数为( ) A45 B50 C55 D60 B DFBC 8如图，四边形ABCD内接于O，AB经过圆心，B3BAC，则 ADC等于( ) A100
8、B112.5 C120 D135 B 9如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，DCE80，F25，则E的度数为( ) A55 B50 C45 D40 C 10如图，四边形ABCD内接于O，B50，ACD25，BAD65.求证： (1)ADCD； 证明：四边形ABCD内接于O， ADC180B130. ACD25， DAC180ADCACD 1801302525. DACACD，ADCD. (2)AB是O的直径 BACBADDAC652540， B50， ACB180BBAC 180504090. AB是O的直径 11如图，C过原点，且与两
9、坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内 上一点，BMO120.求C的半径及点B的坐标 OB 解：由题意知四边形AOMB为C的内接四边形， 所以BAO180BMO18012060， 所以ABO90BAO906030. 在RtABO中，由OA3，得AB2OA6， 所以ACBC3， 所以C的半径为3，点B的坐标是(3，0) 62323 3， 圆内接四边形的角的“三种关系”： (1)对角互补，若四边形ABCD为O的内接四边形，则AC180，BD180. (2)四个内角的和是360，若四边形ABCD为O的内接四边形，则ABCD360. (3)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角