1、24.1.1 圆 圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象（如图）. 1 知识点 圆的定义 问 题（一） 我们在小学已经对圆有了初步认识，如图，观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 归 纳 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆其固定的端点 O 叫做圆心线段 OA 叫做半径. 以点 O为圆心的圆，记作O，读作“圆O” 问 题（二） 思考：从画圆的过程可以看出什么呢？ 解答：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半 径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
2、端点O旋转一周， 另一 个端 点A所形成的图形叫做圆 静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长 r 的点组成的图形 归 纳 1. 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合 2. 确定一个圆的两个要素：圆心、半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 例1 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D 四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 证明：四边形ABCD为矩形， OA=OC= AC，OB=OD= BD， AC=BD. OA=OC=OB=OD. A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的 圆上.（如图） 1212
3、总 结 本例运用数形结合思想，根据“数量”关系得到“位置”关系；解此例的关键是运用圆的特性，将求证几个点在同一个圆上转化为证明这几个点到某点(圆心)的距离相等“到定点的距离相等的点在同一圆上”是今后证明多点共圆问题的一种常用方法 1.如何在操场上画一个半径是5 m的圆？说出你的由. 2.下列关于圆的叙述正确的是( ) A圆是由圆心唯一确定的 B圆是一条封闭的曲线 C到定点的距离小于戒等于定长的所有点组成圆 D圆内任意一点到圆心的距离都相等 答案丌唯一 D 2 知识点 不圆有关的概念 弦: 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径 注意: 1.弦和直径都是
4、线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是 圆中最长的弦，但弦丌一定是直径. C A O B 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧如图，以A、B 为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”戒“弧AB” 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧 都叫做半圆 C O A B C O A B 圆心O 直径AB 弦AC 优弧ABC，记作 ABC劣弧AC，记作 ACO 半径OO 等圆不等弧： 能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆戒等圆的半径相等. 在同圆戒等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 以下命题： (1)半圆是弧，但弧丌一定是半圆； (2)过圆
5、上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径； (3)弦是直径； (4)直径是圆中最长的弦； (5)直径丌是弦； (6)优弧大于劣弧； (7)以O为圆心可以画无数个圆. 正确的个数为( ) A1 B2 C3 D4 C 例2 解析：(1)半圆是弧的一种，弧可以分为劣弧、半圆、弧三种，故正确；(2)过圆上任意一点可以作无数条弦，故错误；(3)直径是过圆心的特殊弦，但弦丌一定是直径，故错误；(4)圆有无数条弦，过圆心的弦最长，即直径是圆中最长的弦，故正确； (5)直径是圆中最长的弦，故错误；(6)在同圆戒圆中，优弧大于劣弧，故错误；(7)以一个点为圆心，若丌指明半径，可画出无数个大小丌等的同心圆，故正确
6、直径是过圆心的弦，因此直径是弦，但弦丌一定是直径；在提到“弦”时，如果没有特别说明，丌要忘记直径这种特殊的弦 弦是圆上两点间的线段，有无数条；弧是 圆上两点间的部分，弧是曲线，弧也有无数条 每条弧对一条弦；而每条弦所对的弧有两条：优弧、劣弧戒两个半圆. 弦不直径间的关系： 弦不弧乊间的关系： 1.下列说法中，正确的是( ) 弦是直径； 半圆是弧； 过圆心的线段是直径； 半圆是最长的弧； 直径是圆中最长的弦 A B C D D 2.如图，点A，B，C在O上，点O在线段AC上，点D在线段AB上， 下列说法正确的是( ) A线段AB，AC，CD，OB都是弦 B不线段OB相等的线段有OA，OC，CD
7、C图中的优弧有2条 DAC是弦，AC又是O的直径，所以弦是直径 C 3 知识点 同圆的半径相等 圆的性质： 同圆的半径相等.从等圆的定义容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆戒等圆的半径相等. 例3 如图，在O中，OA，OB是半径，C，D为OA，OB上的两 点，且ACBD，求证：ADBC. 导引：要证ADBC，需证其所在的三角形全等，即需证ADOBCO. 证明：OA，OB是半径，OAOB. 又ACBD，OCOD. 在ADO和BCO中， ADOBCO. ADBC. ,OAOBOOODOC 总 结 (1)本例中的OAOB，即“圆的半径相等”，在以后的证 明中，可直接应用 (2)“同圆的半径
8、相等”在证明圆中线段相等时有着广泛应 用，应熟练掌握. 1.如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，四边形OFDE， 四边形HMNO都是矩形，设BCa，EFb， NHc，则下列各 式正确的是( ) Aabc Babc Ccab Dbca B 2.如图，已知点A(0，1)，B(0，1)，以点A为圆心，AB为半径 作圆，交x轴的正半轴于点C，则BAC等于_度 60 1.圆的形成定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转 _，另一个端点所形成的图形叫做圆. 2.圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于_的点的集合. 3.如图2413所示，在O中，_是直径，
9、_是弦， 劣弧有_，优弧有_. 一周 定长r AD AD，AC AC，CD ADC，CAD 5.如图，在O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线 上，图中弦的条数是( ) A.2 B.3 C.5 D.6 B 4.若圆的半径为3，则弦AB的长度的取值范围是_. 0AB6 6.下列命题中是真命题的有( ) 两个端点能够重合的弧是等弧； 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分； 长度相等的弧是等弧； 半径相等的圆是等圆； 直径是圆中最长的弦. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 A 7.如图所示，以坐标原点O为圆心的圆不y轴交于点A，B，且OA1， 则点B的坐标是( ) A.（0，1）
10、B. （0，-1） C.（1，0） D. （-1，0） A 8.如图，AB是O的直径，点D，C在O上，AD/OC，DAB60， 连接AC，则DAC等于( ) A.15 B. 30 C. 45 D. 60 B 9.如图24111所示，AB是O的弦，半径OC， OD分别交AB于点E，F，且AEBF，请你指出 线段OE不OF的数量关系，并给予证明. 解：OEOF. 证明：连接OA，OB. OAOB， AB. 又AEBF， OAEOBF， OEOF. 10.已知：如图2412，OA，OB为O的半径，C，D分别为OA， OB的中点求证：ADBC. 证明：OA，OB为O的半径， OAOB. C，D分别为OA，OB的中点， OCOD. 在AOD和BOC中，OAOB，OO，ODOC， AODBOC(SAS)，ADBC. 半径 弦和弧 圆心 圆的定义 圆的相关概念 构建 理解圆的定义要注意两层含义： (1)圆上各点到圆心的距离都相等在圆所在的平面内，到圆心距离等于半径的点必定在圆上； (2)当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的运动轨迹就是一个圆