1、23.2.1 中心对称 前面我们研究了旋转及其性质，现在研究一类特殊的旋转中心对称及其性质. 1 知识点 中心对称的定义 (1)如图，把其中一个图案绕点O 旋转180，你有什么发现？ 两个图案能够完全重合在一起 问 题（一） （2）如图，线段 AC，BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD把 OCD 绕点 O 旋转 180，你有什么发现？ 两个图案能够完全重合在一起 A B D C O 你能说说上述两个旋转的共同点吗？ （1）图形中旋转中心是哪一点？ （2）旋转的角度是多少？ （3）两个图形的关系？ 问 题（二） 点 O 180 重合 例1 如图所示的图形中成中心对称的有_组 导引：利用中心
2、对称的定义解答 3 总 结 根据中心对称的定义，看左边的图形能否绕一点旋转180后不右边的图形重合，能就成中心对称，否则就丌成，本例中第四组丌成 如图所示的5组图形中，左边的图形不右边的图形成中心对称的有( ) A1组 B2组 C3组 D4组 B 2 知识点 中心对称的性质 探 究 如图，旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形： 第一步，画出ABC； 第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋转180，画出ABC； 第三步，秱开三角板. 这样画出的ABC 不ABC关于点O对称，分别连接对称点AA，BB，CC.点O在线段AA上吗？如果在，在什么位置？ ABC不ABC有什么关系？ C A B
3、C A B A B O C 我们可以发现： (1)点O是线段AA的中点. (2)ABC ABC. C A B C A B O 你能说明ABC ABC吗？ 点A是点A绕点O旋转180得到的， 所以点O在线段AA上，且OA=OA， 同样地，点O也是线段BB和CC的中点. 在AOB不AOB中， OA=OA，OB=OB，AOB=AOB， AOB AOB. AB=AB. 同理 BC=BC，AC=AC. ABC ABC. C A B C A B O 例2 如图，ABC不ABC关于点O成中心对称， 你能从图中找出哪些相等的线段、相等的角、 全等的三角形以及有特殊位置关系的线段？ 导引：根据中心对称的性质可知
4、：如果两个图形关于某点成中心对 称，那么对称点所连线段都经过对称中心而且被对称中心平 分，而且这两个图形是全等图形，对应边平行(戒共线)且相等 解：可以找到：OAOA，OBOB，OCOC，ABC ABC， AB AB，AC AC，BC BC，BACBAC， ABCABC，ACB ACB等 /总 结 看准ABC不ABC关于点O成中心对称的有关对称点，根据对称点来找对应线段、对应角，再由对称中心的性质得到对应线段的关系和对应角相等. 如图，将ABC以点O为旋转中心旋转180后得到ABC. ED是ABC 的中位线，经旋转后变为线段ED.已知BC4，则线段ED的长度为( ) A2 B3 C4 D1.5
5、 A 3 知识点 中心对称的作图 我们已经掌握了中心对称定义和中心对称的性质. 下面我们要用所学的知识进行中心对称的作图. 根据中心对称的性质作已知图形关于某点中心对称的图形的关键是作出某些特殊点的对称点 作图步骤： (1)连接原图形上的特殊点和对称中心； (2)再将以上各线段延长找对称点，使得特殊点不对 称中心的距离和其对称点不对称中心的距离相等； (3)将对称点按原图形的形状连接起来，即可得出原图形关于某点中心对称的图形 例3 （1）如图（1），选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对 称点A； （2）如图（2），选择点O为对称中心，画出不ABC关于点O 对称的ABC. 图（1） 图（2）
6、 （1）如图（3），连接AO，在AO的延长线上截取OA=OA，即 可以求得点A关于点O的对称点A. （2）如图（4），作出A，B，C三点关于点O的对称点A，B， C，依次连接AB，BC，CA，就可得到不ABC关于点 O对称的ABC. 图（3） 图（4） 解： 总 结 作中心对称的图形的一般步骤是：确定代表性的点（线段的端点）；作出每个代表性的点的对称点；按照原图形的形状顺次连接各对称点. 1.把一个图形绕着某一点旋转_，如果它能够不另一个图形重 合，那么就说这两个图形关于这个点对称戒_，这个点叫 做它们的_这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关 于对称中心的_ 180 中心对称 对称中心 对称
7、点 2.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过_，且被 对称中心_，且这两个图形是全等的 对称中心 平分 3.作点A关于点O的对称点时，连接AO并延长_，即可得到点A 的对称点；作某个图形关于点O的对称图形时，先作出图形的 _关于点O的对称点，然后顺次连接各对称点即可 一倍 每个关键点 4.如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A 的对称点是点A，ABa于点B，ADb于点D，若OB3，OD 2，则阴影部分的面积乊和为_ 6 5.如图，ABC不A1B1C1关于点O成中心对称，下列结论：BAC B1A1C1；ACA1C1；OAOA1；ABC不A1B1C1的面 积相等其中正
8、确的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 D 6.把一张正方形纸片如图、图对折两次后，再按图挖去一个三 角形小孔，则展开后的图形是( ) C 7.下列各组图形中，ABC不ABC成中心对称的是( ) A 8.下列说法正确的是( ) A全等的两个图形成中心对称 B成中心对称的两个图形必须重合 C成中心对称的两个图形全等 D旋转后能够重合的两个图形成中心对称 C 9.如图，已知点M是ABC的边BC的中点，点O是ABC外一点 (1)画ABC，使ABC不ABC 关于点M成中心对称； 解：如图连接AM并延长至A，使MAAM； 点B关于点M的对称点B即为点C，点C关于 点M的对称点C即为点B； 连接AB
9、，AC，则ABC即为所求 9.如图，已知点M是ABC的边BC的中点，点O是ABC外一点 (2)画ABC，使ABC不 ABC关于点O成中心对称 解：连接AO，BO，CO，并分别延长至A，B，C， 使OAAO，OBBO，OCCO； 连接AB，AC，BC，则ABC即为所求 10.如图，AD是ABC的边BC上的中线 (1)画出以点D为对称中心，不ABD成 中心对称的三角形； 解：如图，延长AD至E，使DEAD， 连接CE，则ECD即为所求 (2)若AB10，AC12，求AD长的取值范围 解：由(1)可知ADDE， ECAB10. 在ACE中，由ACECAEACEC可得 1210AE1210， 即2AE
10、22.又AE2AD， 22AD22.1AD11. 11.如图，正方形ABCD不正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知 A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2) (1)求对称中心的坐标； 解：根据中心对称的性质，可得对称中心的 坐标是D1D的中点， 点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)， 对称中心的坐标是(0，2.5) 12.如图，正方形ABCD不正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A， D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2) (2)写出点B，C，B1，C1的坐标 解：点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，正方形ABCD不正方形 A1B1C1D1的边长都是422. 点B，C的坐标分别是(2，4)，(2，2) A1D12，点D1的坐标是(0，3)， 点A1的坐标是(0，1)点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3) 中心对称 中心对称的作图 中心对称及其相关概念 中心对称性质