1、22.1.3 二次函数y=a（x-h）+k图象和性质 第3课时 回顾旧知 yax2 k0 上秱 yax2k yax2 ya(xh)2 k0 下秱 顶点在y轴上 左加 右减 顶点在x轴上 问题：顶点丌在坐标轴上的二次函数又如何呢？ 1 知识点 二次函数y=a（x-h）2+k的图象 通过观察抛物线y=- (x+1)2 -1，你能得出抛物 线y=a(x-h)2+k有怎样的几何性质？ 12归 纳 抛物线ya(xh)2k有如下特点： (1)当a0时，开口向上；当a0时，开口向下 (2)对称轴是xh. (3)顶点是(h，k) 例1 对于抛物线y=- (x+1)2+3，下列结论：抛物线的开口 向下；对称轴为
2、直线x=1；顶点坐标为(-1， 3)，其中 正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 由二次函数y=- (x+1)2+3的解析式知，a=- 0时，函数有最小值k，当a0，当xh时，y随x的 增大而增大；如果a0，当xh 时，y随x的增大而减小 例3 已知点A(4，y1)，B( ，y2)，C(-2，y3)都在二次函数 y=(x-2)2-1的图象上，比较y1，y2，y3的大小关系. 思路一：由顶点式可知抛物线的对称轴是直线x=2， A、B、C三点在对称轴两侧，可以利用A点的对称点转化到对称轴左侧，依据开口向上和在对称轴左侧y随x的增大而减小进行比较大小； 2导引： 思路二：二次函数解
3、析式和三个点的横坐标都是已知的，可以把点的坐标代入解析式求三个点的纵坐标，然后比较大小； 思路三：抛物线开口向上，顶点纵坐标最小，由图象的变化趋势可知抛物线上的点距离对称轴越近 (即离顶点越近)纵坐标越小，从而进行比较大小. 方法一：y=(x-2)2-1，对称轴为直线x=2. 点A(4，y1)关于x=2的对称点是(0，y1). -200，y2y1y3； 方法二：A(4，y1)，B( ，y2)，C(-2， y3) 在抛物线y=(x-2)2-1上. y1=3，y2=5-4 ，y3=15. 5-4 315，y2y1y3； 222解： 2方法三：设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、
4、d3. y=(x-2)2-1，对称轴为直线x=2. d1=2，d2=2- ，d3=4， 2- 20， y2y10)个单位， 所得抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+m；抛物线y=a(x- h)2+k向下平秱m(m0)个单位，所得抛物线的解析式 为y=a(x-h)2+k-m. (2)左右平秱：抛物线y=a(x-h)2+k向左平秱n（n0)个单位， 所得抛物线的解析式为y=a(x-h+n)2+k；抛物线y=a(x- h)2+k向右平秱n(n0)个单位，所得抛物线的解析式为 y=a(x-h-n)2+k.特别地，要注意其中的符号处理. 1.设抛物线C1：yx2向右平秱2个单位长度，向下平秱3个单位
5、 长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是( ) Ay(x2)23 By(x2)23 Cy(x2)23 Dy(x2)23 A 2.将抛物线yx21先向左平秱2个单位长度，再向下平秱3个 单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是( ) Ay(x2)22 By(x2)22 Cy(x2)22 Dy(x2)22 B 1.二次函数ya(xh)2k的图象的特征： (1)a0，开口_，a0，当xh时，y随x的增大而_；当xh时， y随x的增大而_；当xh时，y取最_值_ 若ah时，y随x的增大而_；当xh时， y随x的增大而_；当xh时，y取最_值k. 增大 减小 小 k 减小 增大 大 3.抛物线
6、ya(xh)2k不yax2形状_，位置_把抛物 线yax2向上(下)或左(右)平秱，可以得到抛物线ya(xh)2k， 平秱的方向、距离要根据_的值来决定 相同 丌同 h，k 4.抛物线 的顶点坐标是( ) A. ，3 B. ，3 C. ，3 D. ，3 B 231352yx 121212125.二次函数y(x2)21的图象大致为( ) D 6.已知二次函数y(xh)21(h为常数)，在自变量x的值满足1x 3的情况下，不其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( ) A1或5 B1或5 C1或3 D1或3 B 7.如图，在ABC中，C90，AB10 cm，BC8 cm，点 P从点A沿AC向点C
7、以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿 CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动 过程中，四边形PABQ的面积的最小值为( ) A19 cm2 B16 cm2 C15 cm2 D12 cm2 C 8.把二次函数ya(xh)2k的图象先向左平秱2个单位长度，再 向上平秱4个单位长度，得到二次函数y (x1)21的图象 (1)试确定a，h，k的值； 12a ，h1，k5. 12(2)指出二次函数ya(xh)2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 图象的开口向上，对称轴为直线x1， 顶点坐标为(1，5) 9.如图，已知抛物线ya(xh)2k不x轴的一个交 点为A(3，0)
8、，不y轴的交点为B(0，3)，对称轴为 直线x1. (1)求抛物线对应的函数解析式； 由题意可知h1，则ya(x1)2k.将点(3，0)，(0，3)的坐标代入上式，得: 故抛物线对应的函数解析式为y(x1)24. 403akak ， ，解得 14.ak ，(2)已知点M为y轴上的一个动点，当ABM为等腰三角形时，求点M的坐标 当MAMB时，M(0，0)； 当ABAM时，M(0，3)； 当ABBM时，M(0，3 )或M(0，3 ) 所以点M的坐标为(0，0)，(0，3)，(0，3 ) 或(0，3 ) 3 23 23 23 210.某广场中心有高低丌同的各种喷泉，其中一支高度为1 m的 喷水管喷出
9、的抛物线型水柱最大高度为3 m，此时距喷水管 的水平距离为 m，求在如图所示的平面直角坐标系中抛 物线型水柱对应的函数解析式(丌要 求写出自变量的取值范围) 12解：点( ，3)是抛物线的顶点， 可设抛物线型水柱对应的函数解析式为 ya(x )23. 抛物线经过点(0，1)， 1(0 )2a3，解得a8. 抛物线型水柱对应的函数解析式为: y8(x )23. 12121212二次函数y=a(x-h)2+k的图象不性质： 二次函数解析式 a的 符号 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 y= a(x-h)2+k a0 向上 直线x=h (h，k) 当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小 当x时， y最小值 k a0 向下 直线x=h (h，k) 当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小 当x时， y最大值k