1、22.1.4 二次函数y= ax+bx+c的图象和性质 第2课时 已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式，那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件，用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容. 1 知识点 用一般式（三点式）确定二次函数的解析式 已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式； 而用一般式求待定系数要经历以下四步： 第一步：设一般式yax2bxc； 第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一个三元一 次方程组； 第三步：解方程组即可求出a，b，c的值； 第四步：写出函数解析式. 例1 如果一个二次函数的图象经过(1，10)，(1，4)， (2，7
2、)三点，试求这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数的解析式为yax2bxc. 由函数图象经过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三 点，得关于a，b，c的三元一次方程组 10,4,427,abcabcabc 2,3,5.abc 所求二次函数解析式为y2x23x5. 解得 1.设一般式 2.点代入一般式 3.解得方程组 4.写出解析式 2 知识点 用顶点式确定二次函数解析式 刚才我们通过已知图象上的三点确定了二次函数的解析式，如果只知道图象上任意两点是否可以确定解析式？如果知道图象的顶点和图象上另一点，能否确定解析式呢？ 例2 一个二次函数图象的顶点坐标为(1，-4)，图象过点(2，-3)
3、， 求这个二次函数的解析式. 设所求二次函数解析式为y=a(x-h)2+k. 图象的顶点为(1，-4)， h=1，k=-4. 函数图象经过点(2，-3)， 可列方程a(2-1)2-4=-3. 解得a=1. 这个二次函数的解析式为y=(x-1)2-4. 解： 归 纳 当给出的点的坐标有顶点时，可设顶点式y=a(x-h)2+k，由顶点坐标可直接得出h，k的值，再将另一点的坐标代入即可求出a的值. 3 知识点 用交点式确定二次函数解析式 例3 如图，已知抛物线yax2bxc不x轴交于 点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，3) (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平秱的方法，
4、使平秱后抛物线的 顶点落在直线yx上，并写出平秱后抛物线的解析式 导引：(1)利用交点式得出ya(x1)(x3)，进而求出a的值， 再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加右减得出 抛物线的解析式为yx2，进而得出答案 (1)抛物线不x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， 可设抛物线解析式为ya(x1)(x3)， 把(0，3)代入得：3a3，解得：a1， 故抛物线的解析式为y(x1)(x3)， 即yx24x3， yx24x3(x2)21， 顶点坐标为(2，1) (2)先向左平秱2个单位，再向下平秱1个单位，得到的抛物 线的解析式为yx2，平秱后抛物线的顶点为(0，0)， 落在直线yx上 解
5、： 小 结 （1）本题第（2）问是一个开放性题，平秱方法丌唯一， 只需将原顶点平秱成横纵坐标互为相反数即可. （2）已知图象不x轴的交点坐标，通常选择交点式. 1.已知函数图象上的三个点的坐标求函数解析式时，设出二 次函数的_yax2bxc(a0)，然后将三个点 的坐标代入解析式中，求出待定的系数a，b，c即可 一般式 2.若已知顶点坐标戒对称轴戒函数的最值，用待定系数法求 解析式时，一般设_，即ya(xh)2k. 顶点式 3.已知抛物线不x轴的交点坐标为(x1，0)和(x2，0)，用待定系 数法求解析式时，一般设_，即ya(xx1)(xx2) 交点式 则该函数图象的对称轴是( ) A直线x3
6、 B直线x2 C直线x1 D直线x0 4.二次函数yax2bxc(a0)图象上部分点的坐标(x，y)对 应值列表如下： B x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 5.如图，抛物线对应的函数解析式是( ) Ayx2x2 Byx2x2 Cyx2x2 Dyx2x2 B 6.已知二次函数的图象经过点(0，3)，(3，0)， (2，5)，且 不x轴交于A，B两点 (1)试确定此二次函数的解析式 解：设解析式为yax2bxc，把(0，3)，(3，0)， (2，5)代入解析式得 解得 3930425cabcabc ， ， ，123.abc ， ，解得 yx22x3. (2)判断点P(2，3)是否
7、在这个二次函数的图象上如果在，请求出PAB的面积；如果丌在，试说明理由 解： 把x2代入yx22x3得y3， 点P在二次函数的图象上 令x22x30，得x13，x21. PAB的面积为 AByP 1(3)36. 12127.根据下列条件求解析式： (1)已知抛物线的顶点在原点，且过点(3，27)，求抛物线对 应的函数解析式； 解：设解析式为yax2. 将点(3，27)的坐标代入，得a3， 解析式为y3x2. (2)已知抛物线的顶点在y轴上，且经过(2，2)和(1，1)两点，求 它的函数解析式； 设解析式为yax2k，把点(2，2)和(1，1)的坐标代入， 421akak ， ，132.3ak ， 得 解析式为y x2 . 1323(3)一条抛物线的顶点为(2，0)，且过点(3，5)，求这条抛物 线对应的函数解析式 设解析式为ya(x2)2， 将点(3，5)的坐标代入，得a . 解析式为y (x2)2. 1515设 列 解 答 步骤 类 型 一般式（三点式） 顶点式 交点式 待定系数法求二次函数解析式