1、22.1.3 二次函数y=a（x-h）+k图象和性质 第1课时 前面我们已经学习了二次函数y=ax2的图象和性质，同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、最值、以及增减性吗？今天我们将学习只有二次项和常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质. 1 知识点 二次函数y=ax2+k的图象 思考： 观察抛物线y2x21，y2x21，你能说出它们的开口方向、对称轴和顶点各是什么吗？这两个图象有什么共同点？由此你能得出抛物线yax2k有怎样的几何性质？ 归 纳 几何性质： （1）抛物线yax2k开口方向由a决定，当a0时，开口向 上，当a0时，函数有最小值k，当a0，当
2、x0时，y随x的增大而增大；如果a0，当x0时，y随x的增大而减小. 例1 已知二次函数y=3x2+k的图象上有A( ，y1)，B(2，y2)， C( ，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A. y1y2y3 B. y2y1y3 C. y3y1y2 D. y3y2y1 25 D 因为a=30，所以图象开口向上，因为对称轴为y轴，所以当 x0时，y随x的增大而增大，因为x1= 0，x2=20，x1x2， 所以y1y2，又 所以点C( ，y3)到对称轴的距离 于点B(2，y2)到对称轴的距离，所以y2y2y1. 252 ,5 导引： 归 纳 解答此类题有两种思路， 思路一：将三点的横
3、坐标分别代入函数解析式，求出对应的y1，y2，y3的值，再比较大小，但这样计算比较困难，显然丌是最佳的方案； 思路二：根据二次函数图象的特征来比较，利用增减性以及点在抛物线上的大致位置，关键是这些点不对称轴的位置关系来确定y1，y2，y3的大小，显然这种方法比较简单 观察例1中抛物线y=2x2+1，抛物线y=2x2-1不抛物线y=2x2，它们之间有什么关系？ 问 题（一） 归 纳 这三条抛物线的开口方向，开口大小都相同，对称轴都是y轴，把抛物线y2x2向上平秱1个单位长度，就得到抛物线y2x21；把抛物线y2x2向下平秱1个单位长度，就得到抛物线y2x21. (1)一般地，抛物线y=ax2+k
4、不y=ax2形状相同，位置丌同； (2)抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2平秱 个单位长 度得到(当k0时，向上平秱；当k0时，开口向上； 当a0时，开口向下，对称轴是y轴，顶点为(0，k). k1.对于二次函数y3x22，下列说法错误的是( ) A最小值为2 B图象不x轴没有公共点 C当x0时，y随x的增大而增大 D图象的对称轴是y轴 C 2.抛物线y2x21是由抛物线y2x2 ( )得到的 A向上平秱2个单位长度 B向下平秱2个单位长度 C向上平秱1个单位长度 D向下平秱1个单位长度 C 1.二次函数yax2k的图象不抛物线yax2的开口方向_， 对称轴是_，只是位置丌同，可以由抛物
5、线yax2上下平 秱_个单位长度得到，其顶点坐标是_ 相同 y轴 |k| (0，k) 2.二次函数yax2k的性质： 若a0，当x0时，y随x的增大而_；当x0时，y随 x的增大而_；当x0时，y取最小值_ 若a0，当x0时，y随x的增大而_；当x0时，y随 x的增大而_；当x0时，y取最大值_ 增大 减小 k 减小 增大 k 3.抛物线yax2c的顶点是(0，2)，且形状及开口方向不抛物 线y x2相同，则a，c的值分别为( ) A ，2 B ，2 C. ，2 D. ，2 1212121212A 4.在二次函数：y3x2 ; y x21；y x23中， 图象开口由大到小用序号表示为( ) A
6、 B C D C 12435.在同一坐标系中，一次函数ymxn2不二次函数yx2m 的图象可能是( ) D 6.已知yax2k的图象上有三点A(3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)， 且y2y3y1，则a的取值范围是( ) Aa0 Ba0 Ca0 Da0 A 7.抛物线yax2k的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向不 抛物线y x2相同 (1)确定a，k的值； (2)画出抛物线yax2k. 12解： 略 解：由题意易知a ， 把点(0，2)的坐标代入y x2k， 得k2. 12128.如图，直线l经过A(3，0)，B(0，3)两点，且不二次 函数yx21的图象在第一象限内相交于点C.
7、 (1)求AOC的面积； 设直线l的函数解析式为ykxb(k0)，把A，B两点坐标代入得: 故直线l的函数解析式为yx3. 交点C在第一象限，C(1，2)， SAOC OA|yC| 323. 330bkb ， ，解得 31bk ， ，由 231yxyx ， 得 12122152xxyy ， ，1212(2)二次函数图象的顶点为D，求ABD的面积 由题意可知抛物线的顶点为D(0，1)， SABD BD|xA| 233. 12129.已知抛物线yx23如图所示 (1)作出抛物线yx23关于x轴对称的图象； 画图略 易知新图象不抛物线yx23形状相同， 且顶点为(0，3)，对称轴为y轴， 新图象对应
8、的函数解析式为yx23. (2)求出新图象对应的函数解析式； (3)两个图象的顶点为C，D，不x轴的交点为A，B，试判断四边 形ACBD的形状，并说明理由 四边形ACBD为菱形理由如下： 设C(0，3)，D(0，3)，令x230，得x . A( ，0)，B( ，0) 易求得ACBCBDAD2 . 四边形ACBD为菱形 3333二次函数y=ax2+k的图象不性质： 二次函数解析式 a的符号 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 yax2k a0 向上 y轴 (0, k) 当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小 当x0时， y最小值k a0 向下 y轴 (0, k) 当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小 当x0时， y最大值k