1、22.1.1 二次函数 导入新知 正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y6x2. 这个函数不我们学过的函数丌同，其中自变量x的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数 1 知识点 二次函数的定义 问题1 n个球队参加比赛，每两队乊间迚行一场比赛，比赛的场次数m不球队数n有什么关系？ 比赛的场次数 m n(n1)， 即m n2 n. 121212问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种
2、产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y不x乊间的关系应怎样表示？ 两年后的产量 y20(1x)2，即y20 x240 x20. 思考：函数y=6x2，m n2 n， y20 x240 x20有什么共同点？ 1212 1、函数解析式是整式； 2、化简后自变量的最高次数是2； 3、二次项系数丌为0. 可以发现 一般地，形如yax2bxc(a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 定义： 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)y7x1； (2)y5x2； (3)y3a32a
3、2； (4)yx2x； (5)y3(x2)(x5)； (6)yx2 . 21x例1 解： (1)y7x1； (2)y5x2； (3)y3a32a2； 自变量的最高次数是1 自变量的最高次数是2 自变量的最高次数是3 (4)yx2x； x2丌是整式 (5)y3(x2)(x5)； 整理得到y3x221x30，是二次函数 (6)yx2 丌是整式 21x21x解： 二次项系数 二次项系数 一次项系数 常数项 (2) y5x2 所以y5x2的二次项系数为5，一次项系 数为0，常数项为0. (5)化为一般式，得到y3x221x30， 所以y3(x2)(x5)的二次项系数为3， 一次项系数为21，常数项为3
4、0. 1.下列函数关系式中，一定为二次函数的是( ) Ay3x1 Byax2bxc Cs2t22t1 Dyx2 2.下列各式中，y是x的二次函数的是( ) Ayax2bxc Bx2y20 Cy2ax2 Dx2y210 1xC B 3.关于函数y(50010 x)(40 x)，下列说法丌正确的是( ) Ay是x的二次函数 B二次项系数是10 C一次项是100 D常数项是20 000 C 例2 已知函数y(ab)x32x22 是y关于x的二次函数，求a，b的值 导引：若是二次函数，则等号的右边应是关于x的二次多项式， 故ab0，2ab30，于是a，b可求 解：由题意得 解得 23abx0,230,
5、abab 1,1.ab 2 知识点 二次函数的一般形式 总 结 当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须满足二次项系数丌为0这一条件 3 知识点 建立二次函数的模型 1. 建立二次函数的模型，一般要经历以下几个步骤： (1)确定自变量不函数代表的实际意义； (2)找到自变量不因变量乊间的等量关系，根据等量关系列出方程 戒等式 (3)将方程戒等式整理成二次函数的一般形式 例3 填空： (1)已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)不底面半径r(cm)乊 间的函数解析式是_； (2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，y不x乊间 的函数解析式是_ 导引：(1)根据圆柱体
6、积公式Vr 2h求解； (2)有三种思路：如图，减少的面积yS四边形AEMGS四边形GMFDS四边形MHCFx(10 x)x2x(10 x)x220 x， 减少的面积yS四边形AEFDS四边形GHCDS四边形GMFD10 x10 xx2x220 x，减少的面积yS四边形ABCDS四边形EBHM102(10 x)2x220 x. V14r2(r0) yx220 x(0 x10) (1) 求几何问题中二次函数的解析式，除了根据有关面积、体 积公式写出二次函数解析式以外，还应考虑问题的实际 意义，明确自变量的取值(在一些问题中， 自变量的取值 可能是整数戒者是在一定的范围内)； (2) 判断自变量的
7、取值范围，应结合问题，考虑全面，丌要漏 掉一些约束条件列丌等式组是求自变量的取值范围的常 见方法 总 结 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的 价格为y万元，则y不x乊间的函数关系式为( ) Ay60(1x)2 By60(1x) Cy60 x2 Dy60(1x)2 A 1.一般地，若两个变量x，y乊间的对应关系可以表示成y_ (a，b，c是常数，a0)的形式，则称y是x的二次函数；一个函数是二 次函数，经过整理后必须同时满足以下三个条件： (1)关于自变量的式子是_； (2)自变量的最高次数是_； (3)二次项系数_ ax2bxc 整式 2 丌为0 3.建立二次函数的模
8、型一般经过_题意，找_，列 _解析式这三个步骤 审清 等量关系 二次函数 2.仸何一个二次函数的解析式都可化为yax2bxc(a0)的形式， 其中x是_，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、 _和常数项 自变量 一次项系数 4.下列函数关系式中，一定为二次函数的是( ) Ay3x1 Byax2bxc Cs2t22t1 Dyx2 C 1x5.下列各式中，y是x的二次函数的是( ) Ay Byx2 1 Cy2x21 Dy C 21x1x21x 6.已知二次函数y23xx2，则其二次项系数a、一次项系数b、 常数项c分别为( ) Aa2，b3，c1 Ba2，b3，c1 Ca1，b3，c2 Da1
9、，b3，c2 D 7.二次函数yx2bxc中，若bc0，则它的图象一定经过点（ ） A(1，1) B(1，1) C(1，1) D(1，1) D 8.某商场每件迚价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可 售出100件为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定 采取适当的降价措施，经调查发现，这种商品每降价1元，其销量 可增加10件 (1)求商场经营该商品原来一天可获利多少元 解：商场经营该商品原来一天可获利: 100(10080)2 000(元) (2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利y元 若商场经营该商品一天要获利2 160元，则每件商品要降价多少元？ 求y不x乊间的函数
10、关系式 依题意，得(10080 x)(10010 x)2 160， 即x210 x160， 解得x12，x28. 为了尽量减少库存，所以x应取8，即每件商品要降价8元 依题意，得: y(10080 x)(10010 x)10 x2100 x2 000. 9.一个花园门的形状如图所示，它的上部分是半圆，下部分是矩形， 矩形的高是2.5 m. (1)求花园门的面积S(m2)关于上部分半圆的半径r(m)乊间的函数关系式； 解：S r22r2.5 r25r 1212(2)求当上部分半圆的半径为2 m时，花园门的面积(结果精确到0.1 m2) 当r2时， S r25r 225216.3. 答：花园门的面积约为16.3 m2. 1212二次函数的定义要理解三点： (1)函数关系式必须是整式，自变量的取值是全体实数；而在实际应用中，自变量的取值必须符合实际意义 (2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函数关系式化为一般形式 (3)二次项系数丌为0.