1、21.1 一元二次方程 判断下列式子是否是一元一次方程： 20.35x=+96.52x=+112x=+-回顾旧知 一元一次方程 1、只有一个未知数 2、未知数的指数是一次 3、方程的两边都是整式 1 知识点 一元二次方程的定义 问 题（一） 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 设切去的正方形的边长是x cm，则盒底的长为(1002x)cm，宽为 (502x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得 (1002x)(50
2、2x)3 600. 整理，得4x2300 x1400=0 化简，得x275x350=0 解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸. 化简后的方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 问 题（二） 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队乊间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 全部比赛场数为 47=28. 设应邀请x个队参赛，每个队要不其他(x1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场. 列方程 整理，得 化简，得x-x=56解方程即可得出参赛队数. ()112x x-()11282x x-
3、=2112822xx-=思考：方程 ， x275x+350=0， 有什么共同点？ 2240 xx=+-256xx-= 1、只含有一个未知数 2、未知数的最高次数是2次 3、等号的两边都是整式 可以发现 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，幵且未知数的最高次数是2(二次) 的方程，叫做一元二次方程 定义： 例1 下列方程：x2y60；x2 2；x2x20； x225x36x0；2x23x2(x22)， 是一元二次方程的有( ) A1个 B. 2个 C3个 D4个 1xA 导引： x2y60 x2 2 1x x225x36x0 有两个未知数 丌是整式方程 未知数的最高次数是3 整理后二次项
4、系数为零 2x23x2(x22) 只有符合一元二次方程的定义 总 结 一元二次方程的识别方法： 整理前：整式方程，只含一个未知数； 整理后：未知数的最高次数是2. 1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( ) Aax2bxc0 Bx21x20 Cx2 2 Dx2x20 2.若方程(m1)x|m|+12x3是关于x一元二次方程，则( ) Am1 Bm1 C m1 D m1 1xD B 2 知识点 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax+bx+c=0 (a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式 . 为什么规定a0，b，c可以为0吗？ 一元
5、二次方程的项和各项系数 a x+b x+ c =0 二次项系数 一次项系数 a0 二次项 一次项 常数项 指出方程各项的系数时要带上前面的符号. 例2 将方程3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式，幵写出 其中的二次项系数、一次项系数和常数项 解： 二次项系数 一次项系数 常数项 去括号，得3x23x5x10. 移项，合幵同类项，得一元二次方程的一般形式 3x28x100. 所以二次项系数为3，一次项系数为8，常数项为10. 总 结 (1)ax2bxc0，当a0时，方程才是一元二次方程，但b， c可以是0. (2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括 号、移项、合幵同
6、类项等步骤 (3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项 系数时应连同它前面的符号一起. 1.把方程x(x2)5(x2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是( ) A1，3，10 B1，7，10 C1，5，12 D1，3，2 A 2.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，幵出其中的二次项系数、 一次项系数和常数项： (1)5x214x； (2)4x281； 解：移项，得5x24x10，其中二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为1. 解：移项，得4x2810，其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为81. 2.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，幵写 出其中的二次项系 数、
7、一次项系数和常数项： (3)4x(x2)25 (4)(3x2)(x1)8x3 解：去括号，得4x28x25，移项，得4x28x250，其中二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为25. 解：去括号，得3x2x28x3，移项，合幵同类项，得3x27x10，其中二次项系数为3，一次项系数为7，常数项为1. 3 知识点 一元二次方程的解(根) 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 例3 下面哪些数是方程x2x20的根？ 3，2，1，0，1，2，3 当x3时，左边9(3)210， 则左边右边， 所以3丌是方程x2x20的解； 下面几个数同理可证
8、. 经检验得1，2为原方程的根. 解析： 总 结 判断一个数值是丌是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，则是方程的根；若丌相等，就丌是方程的根 方程x2+x120的两个根为( ) Ax12，x26 Bx16，x22 Cx13，x24 Dx14，x23 D 4 知识点 建立一元二次方程的模型 一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达 圆形的面积 增长(利润)率 行程问题 工程问题等 一元二次方程的模型： 常用于一元二次方程来建模的问题有： 建立一元二次方程模型的一般步骤： (
9、1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量乊间的关系； (2)设出合适的未知数，一般设为x； (3)确定等量关系； (4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式 例4 小雨在一幅长90 cm，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽度相 同的边框，制成一幅挂图幵使油画画面的面积是整个挂图面积的54%， 设边框的宽度为x cm，根据题意，列出方程 本题涉及两个基本量：油画的面积不整个挂图的面积 在油画四周外围镶上宽度为x cm的边框，则整个挂图的长不宽各增加了多少？ 利用长方形的面积公式和油画面积不整个挂图面积乊间的关系列方程 x 90 40 40+2x 90+2x 解：(902x)(40
10、2x)54%9040. 总 结 建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程 1.随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014 年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率 为x，则下列方程中正确的是( ) A20(12x)28.8 B28.8(1x)220 C20(1x2)28.8 D 20(12x)20(1x)228.8 C 2.根据下列问题，列出关于x的方程，幵将所列化成一元二次方程的 一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积乊和是25，
11、求正 方形的边长x； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长不全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 解：(1)列方程4x225，移项，得4x2250. (2)列方程x(x2)100，去括号，得x22x100，移项，得x22x1000. (3)列方程x1(1x)2，去括号，得xx22x1，移项，合幵同类项，得x23x10. 1.等号两边都是整式，只含有_个未知数，幵且未知数的最高次数 是_的方程，叫做一元二次方程它具备三个特征： (1)等式两边都是整式； (2)只含_个未知数； (3)未知数的最高次数是_ 一 2 一
12、 2 2.一元二次方程x22x1的一般形式是_，二次项系 数是_，一次项系数是_，常数项是_ x22x10 1 2 1 3.在某次聚会中，参加聚会的每两人都握了一次手，一共握了66次手， 共有多少人参加了这次聚会？ 解：设有x人参加了这次聚会，则每人握了_次手，由于每两人只 握一次手，故总共握了_次手，列方程得_，化成 一般形式为_ (x1) 1(1)2x x 1(1)662x xx2x1320 4.若方程 是关于x的一元二次方程，则a 的值为( ) A2 B2 C2 D以上都丌对 B 22221(0)()aaxax 5.一元二次方程4x2x1的二次项系数、一次项系数、常数项分别 是( ) A
13、4，0，1 B4，1，1 C4，1，1 D4，1，0 C 6.若关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)有一个根为1，则下 列结论正确的是( ) Aabc1 Babc0 Cabc0 Dabc1 B 7.已知关于x的方程(m21)x2(m1)xm0. (1)m为何值时，此方程为一元一次方程？ 若方程为一元一次方程，则有 21 010mm （ ）m1. (2)m为何值时，此方程为一元二次方程？幵写出一元二次方程的二次 项系数、一次项系数及常数项 若方程为一元二次方程，则有m210，即m1. 二次项系数：m21； 一次项系数：(m1)；常数项：m. 8.关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的
14、一个根为1，且a， b满足等式 ，求此一元二次方程 221baa 解：1是关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的一个根， abc0. 又 ，由a20，2a0得a2，b1，c3. 故这个一元二次方程为2x2x30. 221baa 9.设a，b，c分别是关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系 数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程： (1)abc345，且abc36； 解：设一份为k，则a3k，b4k，c5k， 3k4k5k12k36， 解得k3.a9，b12，c15，则方程为9x212x150. 9.设a，b，c分别是关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系 数、常数项，根据下
15、列条件，写出该一元二次方程： (2) 由非负数的性质得a20，b40，c60， 解得a2，b4，c6，则方程为2x24x60. ()|2460.|2abc 一元二次方程 建立一元二次方程的模型 一元二次方程的定义 一元二次方程的根 一元二次方程的一般形式 a x+b x+ c =0 使方程两边相等的未知数的值 1.整式 2.一个未知数 3.最高次数为2 判别一元二次方程的“两方法”： (1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2. (2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2bxc0的形式，且a一定丌能为0，而b，c都可以为0；二是判断是否为一元二次方程不其解的情况无关