1、第21课时 图形的相似与位似百色中考命题规律与预测近五年中考考情 2019年中考预测年份 考查点 题型 题号 分值2018来源:学.科.网Z.X.X.K平面直角坐标系中的位似变换来源:学科网ZXXK填空题 17 13分 来源:学科网来源:学科网ZXXK2017相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例解答题 25 5分2016相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例解答题 25（2） 5分2015 相似三角形的判定与性 质 解答题 25（2） 4分平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质解答题 25（2）2014相似三角形的判定与性质 解答题 25（2）3分预计将在解答题中考查“两条直线被
2、一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及相似三角形的判定与性质，与圆的知识综合考查的可能性较大.来源:学科网百色中考考题感知与试做平面直角坐标系中的位似变换1.（2018百色中考）如图，已知ABC与ABC 是以坐标原点 O为位似中心的位似图形，且 ，若点AOAOA 12（1，0），点C ，则 AC .(12， 1) 13相似三 角形的判定与性质2.（2016百色中考）如图，已知AB为O 的直径，AC为 O的切线，OC交O于点D，BD的延长线交AC于点E.（1）求证：1CAD；（2）若AEEC2，求O 的半径.（1）证明：AB为O的直径，ADB90，ADOBDO90.AC为O的切线，OAAC，O
3、ADCAD90.OAOD，OADODA.1BDO，1CAD；（2）解：1CAD，C C，CADCDE，CDCACECD，CD 2CACE.AEEC2，ACAE EC4，CD2 .2设O的半径为x，则OAOD x，则在Rt AOC中，OA 2AC 2OC 2，x 24 2（2 x） 2，解得x .2 2O的半径为 .2核心考点解读比例的相关概念及性质1.两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a，b得到它们的长度，我们把这两条线段的 长度 的比叫做这两条线段的比.2.成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a，b的比，等于另外两条线段c，d的比，即 （或a bc d），那么这
4、四条线段的比叫做成比例线段.如果 ，即b 2 ac ab cd ab bc，那么b就是a， c的比例中项 .3.比例的性质基本性质 如果 ，那么 ad bc （b，d0）ab cd合（分）比性质 如果 ，那么 （b，d0）ab cd abb cdd等比性质 如果 ，且b 1b 2b n0，那么a1b1 a2b2 anbn a1 a2 anb1 b2 bn a1b14.黄金分割：如图，如果点C把线段AB分成两条线段 ，使 ，那么点C 叫做线段AB的 黄金分割点 ACAB BCAC，AC是 BC与AB的比例中项，AC与AB的比值为 .5 125.平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截
5、，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.相似三角形及其性质与判定6.相似三角形：对应角 相等 ，对应边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.7.相似三角形的性质（1）相似三角形的 对应角 相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积比等于 相似比的平方 .8.相似三角形的判定（1） 两 角分别相等的两个三角形相似；（2）两边成比例且 夹角 相等的两个三角形相似；（3）三边 成比例 的两个三角形相似；（4）平行于三角形一边的直线与其他两边
6、（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似；（5）对于两个直角三角形，除了以上判定方法外，还可以通过得到：一个锐角相等；两组直角边对应成比例；斜边和一直角边对应成比例来判定这两个直角三角形相似.9.相似多边形：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.图形的位似变换10.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心 .【温馨提示】（1）位似图形上任意一对对应点到位 似中心的距离之比等于 相似比 .
7、（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，原图形上点的坐标为（x，y），那么位似图形上的点的坐标为 （kx，ky） 或 （kx，ky） .11.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是 位似中心 .12.位似作图的步骤（1）确定 位似 中心、原图形的关键点、 相似比 （即要将图形放大或缩小的倍数）；（2）作出原图形中各关键点的对应点；（3）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.1.（2018定西中考）已知 （a0，b0），下列变形错误的是（ B ）a2 b3A. B.2a3bab 23C. D.3a2bba 322.
8、（2018成都中考）已知 ，且ab2c6，则a的值为 12 .a6 b5 c43. （2018 嘉兴中考）如图，直线l 1l 2l 3， 直线AC交l 1， l2， l3于点A，B，C ；直线DF交l 1， l2， l3于点D，E，F.已知 ，则 2 .ABAC 13 EFDE4.（2018玉林中考）两三角形 的相似比是23，则其面积之比是（ C ）A. B.23 C.49 D.8272 35.（2018永州中考）如图，在ABC中，点D 是边AB上的一点，ADCACB，AD 2，BD6，则边AC的长为（ B ）A.2 B.4 C.6 D.86.（2018滨州中考）在平面直角坐标系中，线段AB两
9、个端点的坐标分别为A （6，8），B （10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 AB缩短为原来的 后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ C ）12A.（5，1） B .（4，3） C.（3，4） D.（1，5）7.（2017河池中考）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AEBF于点M，求证：AEBF；（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB2，BC3 ，AE BF 于点M，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.图1 图2（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABCC90，A BBC.AEBF ，AMBBAM ABM9
10、0.ABMCBF90，BAMCBF ，ABEBCF（ASA），AEBF ；（2）解：AE BF.23证明：四边形ABCD是矩形，ABCC90.AEBF ，AMBBAM ABM90.ABMCBF90，BAMCBF ，ABEBCF， ，AEBF ABBC 23AE BF.238.（2017来宾中考）如图，在正方形ABCD中，H 为CD的中点 ，延长AH 至F，使AH3FH，过F作FGCD，垂足为G，过F 作BC 的垂线交 BC的延长线于点E.（1）求证：ADHFGH；（2）求证：四边形CEFG是正方形.证明：（1）四边形ABCD是正方形，ADH90，ADDC.FGCD ， ADHFGH90.又AH
11、DFHG，ADHFGH；（2）ADHFGH， .ADFG DHGH AHFHAH3FH， 3，ADFG DHGHFG AD，DH3GH.13H为CD的中点，DHCH，CG2GH，CD6GH，CG CD，FG CG.13FGCD ，DCBE，FEBE，四边形CEFG是正方形.典题精讲精练平行线分线段成比例例1 如图，在ABC中，点D在AB上，BD2AD，DEBC 交AC于E，则下列结论不正确的是（ D ）A.BC 3DEB. BDBA CECAC.ADEABCD.SADE SABC13【解析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可.BD2AD，AB3AD.DEBC， ，DEBC A
12、DAB 13BC3DE ，故A结论正确；DEBC， ，故B结论正确；BDBA CECADEBC，ADEABC，故C 结论正确；DEBC，AB 3AD，S ADE SABC ，故D结论错误.19【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.相似三角形的判定与性质例2 如图，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的中线，DEAB于点E.（1）求证：BDECAD；（2）若AB13，BC10，求线段DE的长.【解析】（1）由已知可得BC ，DEBADC90即可解决问题；（2）利用面积法：S ABD ADB
13、D ABDE求解即可.12 12【解答】解：（1）ABAC，AD为BC边上的中线，ADBC， BC.DEAB，DEBADC90，BDECAD；（2）由（1）知，ADB90.在Rt ADB中，BD BC5，12AD 12.AB2 BD2 132 52S ABD ADBD ABDE，12 12DE .6013【点评】本题第（2）问也可以利用（1）中结论求解.图形的位似变换例3 （2016玉林中 考）如图，在平面直角坐标系网格中，将ABC进行位似变换得到A 1B1C1.（ 1）A 1 B1C1与ABC 的相似比是 2 ；（2）画出A 1B1C1关于y轴对称的 A 2B2C2；（3）设点P（a，b）为
14、ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在A 2B2C2内的对应点P 2的坐标是 （2a，2b） .【解析】（1）根据位似图形可得相似比即可；（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；（3）根据两次变换的坐标变化规律得出坐标即可.【解答】解：（1）A 1B1C1与ABC的相似比为 2.A1B1AB 42（2）如图所示；（3）点P（a，b）为ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为（2a，2b）.【点评】此题考查作图问题，关键是根据轴对称图形的画法和位似图形的性质分析.1.（2018云南中考）如图，已知ABCD，若 ，则 .ABCD 14 OAOC 14,（第1题图） ,（第2题图
15、）2.如图，直线abc ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A，B，C 和点D ，E，F.若ABBC 12，DE3，则EF 的长为 6 .3.（2018贵港中考）如图，在ABC中，EFBC，AB3AE，若S 四边形BCFE 16，则S ABC （ B ）A.16 B.18C.20 D.244.（2018泸州中考）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD上，AF，BE相交于点 G，若 AE3ED，DFCF，则 的值是（ C ）AGGFA. B. C. D.43 54 65 76,（第4题图） ,（第5题图）5.（2017桂林中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交
16、于点O ，过点A作EACA交DB的延长线于点E，若AB3，BC 4，则 的值为 .AOAE 7246.（2018百色中考）已知AD为O的直径，BC 为O的切线，切点为M，分别过A，D 两点作BC 的垂线，垂足分别为B ，C，AD的延长线与BC相交于点 E.（1）求证：ABMMCD；（2）若AD8，AB5，求ME的长.（1）证明：AD为O的直径，AMD 90，BMACMD 90.又ABBC，DCBC ，ABMMCD90，BAMBMA90，BAMCMD，ABMMCD ；（2）连接OM，则OMBC，OMAB，EMOEBA.AD8，AOODOM4， ，即 ，ED 12，MOBA EOEA ED 4ED
17、 8EO12416.在Rt EMO中，ME 4 ，即ME的长为4 .EO2 OM2 162 42 15 157.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB， 若点B 的坐标为（ 5， 0），则点A的坐标为（ B ）A.（2，5） B.（2.5，5） C.（3，5） D.（3，6）8.（2018安徽中考） 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 1010网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.（1）在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B1（点A，B的对应点分别为A 1，B 1），画出线段A 1B1；（2）将线段A 1B1绕点B 1逆时针旋转 90得到线段A 2B1，画出线段A 2B1；（3）以A，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B1A2的面积是 20 个平方单位.解：（1）如图，线段A 1B1即为所求；（2）如图，线段A 2B1即为所求；（3）由图可得，四边形AA 1B1A2为正方形，四边形AA 1B1A2的面积是（ ） 220.22 42请 完 成 精 练 本 第 37 38页 作 业