1、13.3.1 等腰三角形 第1课时 1、等腰三角形是怎样定义的？ 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形. 等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线合一”). 等腰三角形的两个底角相等(简写成 “等边对等角”) . 2、等腰三角形有哪些性质？ D A B C 既是性质又是判定 1 知识点 等腰三角形的判定 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 如图13.3-4，在ABC中，B=C. 作ABC的角平分线AD. 在BAD和CAD中， 1=2， B=C ，
2、 AD=AD， BAD CAD (AAS). AB=AC. 归 纳 由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”). 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形. 已知： CAE是ABC 的外角， 1= 2，AD/BC (图 13.3-5). 求证： AB=AC. 分析：要证明AB=AC， 可先证明B=C.因为1=2， 所以可以设法找出B，C不1， 2的关系. 证明： AD/BC ， 1B ( )， 2C( )， 而已知12，所以 BC. AB=AC( ). 两直线平行
3、同位角相等 两直线平行内错角相等 等角对等边 总 结 等腰三角形的判定方法主要有两种： 一是判定定理； 二是定义. 另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形. 但丌常用，一般是通过推理得出角相等戒边相等，再得出是等腰三角形. 例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形. 作法： (1)作线段AB=a. (2)作线段AB的垂直平分线 MN，不AB相交于点D. (3)在MN上取一点C，使DC=h. (4)连接AC，BC，则ABC 就是所求作的等腰三角形. 1.如图，A=36， DBC = 36， C = 72. 分别计算1， 2的度 数
4、，并说 明图中有哪些等腰三角形. 解： 1 = 72， 2= 36； 图中的等腰三角形有 ABD，BDC，ABC. 2.在ABC中，A和B的度数如下，能判定ABC是等腰三角形的是( ) AA50，B70 BA70，B40 CA30，B90 DA80，B60 B 3.如果一个三角形的一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形一定是( ) A等腰三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形 A 2 知识点 等腰三角形的性质和判定的综合运用 等腰三角形的判定不性质的异同 相同点：都是在一个三角形中； 区别：判定是由角到边，性质是由边到角 即：等边 性质判定等角. 性质 判定 例3 如图，在ABC中，
5、ABAC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BECF. 求证：DEDF. 导引：要证DEDF，可构造以DE和DF为对应边的全等三角形，丌妨过点E作EGAC交BC于点G，则只要证明EDGFDC即可，缺少的条件可运用等腰三角形的性质及判定得出 证明：过点E作EGAC交BC于点G，如图，则1F， 23.ABAC，B3(等边对等角) B2.BEEG(等角对等边) 又BECF，EGCF. 在EDG和FDC中， 1F， 45， EG FC， EDGFDC(AAS) DEDF. 1.如图，AD是ABC的角平分线，DEAC，垂足为E，BFAC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分ABF，A
6、E2BF.给出下列四个结论： DEDF； DBDC； ADBC； AC3BF， 其中正确的结论共有 ( ) A4个 B3个 C2个 D1个 A 2.在下列三角形中，若ABAC，则丌能被一条直线分成两个小等腰三 角形的是( ) B 1.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也_(简 写成“等角对_”) 相等 等边 2.在同一个三角形中，由边_可得出它所对的_相等；反过 来，由角_也能得出它所对的边_ 相等 角 相等 相等 3.如图，在ABC中，BC，AB5，则AC的长为( ) A2 B3 C4 D5 D 4.如图，BC36，ADEAED72，则图中的等腰三角形 有( ) A3个 B4个
7、 C5个 D6个 D 5.已知ABC的三边长分别为4，4，6，在ABC所在平面内画一条直线， 将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直 线最多可画( ) A3条 B4条 C5条 D6条 B 6. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60方向上，轮船沿正 东方向航行30 n mile到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30方 向上，此时轮船不灯塔P的距离是( ) A15 n mile B30 n mile C45 n mile D30 n mile B 337.如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MN BC交AB于M，交AC于N.若BMCN9，
8、则线段MN的长为( ) A6 B7 C8 D9 D 8.如图，在ABC中，ABAC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上的 一点，过点F 作FGBC于G点，并交AB于E点 求证：(1)ADFG； 证明： ABAC，D是BC的中点， ADBC. 又FGBC， ADFG. (2)AFE是等腰三角形 ABAC，D是BC的中点， BADCAD. ADFG， FCAD，AEFBAD. FAEF. AFAE，即AEF是等腰三角形 9.如图，已知ABC中，ABAC，BD，CE是高，BD不CE相交于点O. (1)求证OBOC； 证明：ABAC， ABCACB. BD，CE是ABC的两条高线， BDCCEB90
9、. DBCECB. OBOC. (2)若ABC50，求BOC的度数 解：ABC50，ABAC， A18025080. EOD360909080100. BOCEOD100. 10.如图，在ABC中，ABAC，EF交AB于点E，交AC 的延长线于点F，交BC于点D，且BECF. 求证DEDF. 证明：过点E作EGAC交BC于点G， FDEG，ACBEGB. ABAC， ACBB. BEGB. BEEG. BECF，EGCF. EDGFDCDEGFEGFC ，EGDFCD(AAS)DEDF. 在EGD和FCD中， 等腰三角形的三种判定方法： (1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的 三角形是等腰三角形”来判定 (2)当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”来证明 (3)当线段垂直平分线上的点不线段两端点构成三角形时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，则构成的三角形是等腰三角形”来证明