1、12.3 角的 平分线的性质 第2课时 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. O D E P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 A C B 回顾旧知 1 知识点 角的平分线的判定 如图，由 于点 D ， 于点E，PD= PE ， 可 以得到什么结论 ？ OB PE PD OA B A D O P E 到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上. 判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上 书写格式：如图，PDOA，PEOB，PDPE， 点P在AOB的平分线上(或AOCBOC) 例1 如图，BECF，DFAC于点F，DEAB于点E，BF
2、和 CE相交于点D. 求证：AD平分BAC. 导引：要证AD平分BAC，已知 条件中有两个垂直，即有 点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证 明BDE和CDF全等来完成 证明：DFAC于点F，DEAB于点E， DEBDFC90. 在BDE和CDF中， BDECDF DEBDFC BECF BDECDF(AAS)， DEDF. 又DFAC于点F，DEAB于点E， AD平分BAC. 总 结 证明角平分线的“两种方法” （1）定义法：应用角平分线的定义. （2）定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线 上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件
3、： “垂直”和“相等”. 1.解决课时导入提出的问题. 2.在正方形网格中，AOB的位置如图所示，到AOB 两边距离相等的点应是( ) A点M B点N C点P D点Q A 3.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等， 则点P是( ) A线段CD的中点 BCD不过点O作CD的垂线的交点 CCD不AOB的平分线的交点 D以上均丌对 C 4.如图，在ABC中，分别不ABC，ACB相邻的外角的平 分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是( ) AAF平分BC BAF平分BAC CAFBC D以上结论都正确 B 5.如图，在四边形ABCD中，ABCD，BA和CD的延长线交 于点E，若点
4、P使得SPABSPCD，则满足此条件的点P( ) A有且只有1个 B有且只有2个 C组成E的平分线 D组成E的平分线所在的直线(E点除外) D 2 知识点 三角形的角平分线 如图，ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂 直于 AB，BC， CA，垂足分 别 为D， E，F. BM是ABC的角平分线，点P在BM上， PD=PE. 同理PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 探究思考： 想一想，点P在A的平分线上吗？这说明三角形 得三条角平分线有什么关系？ 总 结 三角形的角平
5、分线的交点到三边的距离相等， 这个交点叫作三角形的内心. 1.到ABC的三条边距离相等的点是ABC的( ) A三条中线的交点 B三条角平分线的交点 C三条高的交点 D以上均丌对 B 2.如图，ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40， 50，60，其三条角平分线交于点O，则 SABOSBCOSCAO _. 4 5 6 3.如图，ABC的ABC的外角的平分线BDACB的外角的 平分线CE相 交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在 直线的距离相等. 证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线 AC，AB，BC，垂足分别为F，G，H. 因为BD是ABC的ABC的外角的平分线，点 P
6、在BD上， 所以PGPH(角的平分线上 的点到角的两边的距离相等) 同理PFPH， 所以PGPHPF，即点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等 1.角的内部到角的两边的_相等的点在角的_ 上因此，判定角平分线，需要满足两个条件：“_” 和“_”；其一般思路是“作垂线，证相等” 距离 平分线 垂直 相等 2.点P在AOB的内部，PDOA于D，PEOB于E，若PD PE，则AOP_BOP. 3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_相等 三边的距离 4.如图，若点P到AB，BC，CD的距离 都相等，则P是_的平分线不 _的平分线的交点 ABC BCD 5.如图，在ABC中，ABAC
7、，AD是中线，DEAB，DFAC， 垂足分别为E，F.下列四个结论： AB上一点不AC上一点到点D的距离相等； AD上任一点到AB，AC的距离相等； BDECDF； 12. 其中正确的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 C 6.如图，在ABC中，ABC，ACB的平分线相交于点O，1 不2的大小关系是( ) A12 B12 C12 D丌能确定 B 7.如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转 站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A一处 B两处 C三处 D四处 D 8.点O是ABC内一点，且点O到三边的距离相等，A60，则 BOC的度数为( )
8、A60 B90 C120 D150 C 9.如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FGMN， PFG和PMN的面积相等试判断点P是否在AOB的平分线上， 并说明理由 解：点P在AOB的平分线上 理由：如图，过点P分别作PDOA于点D，PEOB于点E. SPFG FGPD，SPMN MNPE，SPFGSPMN， 12FGPD MNPE. 又FGMN，PDPE. 点P在AOB的平分线上 12121210.如图，BP，CP是ABC的两条外角平分线 求证：点P在A的平分线上 证明：如图，过点P作PMAB，PNAC，PQBC，垂足分别为点M，N，Q. 点P在ABC的外角CBM的平分线上， PMPQ. 同理PQPN.PMPN. 点P在A的平分线上 角的平分线的性质不判定定理的关系： (1)都不距离有关，即垂直的条件都应具备 (2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等 (3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就 一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点， 都应在角的平分线上 性质 判定定理