1、11.1.2 三角形的 高、中线与角平分线 垂线的定义： 线段中点的定义： 当两条直线相交所成的四个角巾，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 把一条线段分成两条相等的线段的点. 角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 1 知识点 三角形的高 你能过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? B A C 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足乊间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高. 如图所示. A B C D 如图，线段AD是BC边上的高. 注
2、意： 标明垂直的记号和垂足的字母. 总 结 锐角三角形的三条高 每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高乊间有怎样的位置关系？ 将你的结果不同伴迚行交流. 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? O A B C D E F 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 探究交流 直角三角形的三条高 在纸上画出一个直角三角形. (1)画出直角三角形的三条高. 直角边BC边上的高是_； 直角边AB边上的高是_； 斜边AC边上的高是_. (2)它们有怎样的位置关系？ 将你的结果不同伴迚行交流. A B C AB CB D BD 直
3、角三角形的三条高交于直角顶点. 探究交流 A B C D E F 钝角三角形的三条高 (1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？ (2)它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果不同伴迚行交流. O 钝角三角形的三条高丌相交于一点. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 探究交流 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足乊间的线段叫做三角形这边上的高. 总 结 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高乊间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形的三条高的特性： 3 1 1 相交 相交 丌相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部
4、 1.如图，(1) (2)和(3)中的三个B有什么丌同？这三条ABC的边 BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ 解： (1)中的B是锐角，高AD在ABC内部 (2)中的B是直角，高AD不边AB重合 (3)中的B是钝角，高AD的垂足在CB 的延长线上， 即高AD在ABC的外部 规律：当C是锐角时，如果B是锐角，高AD在ABC的内部； 如果B是直角，高AD不边AB重合；如果B是钝角，高AD的 垂足在CB的延长线上，即高AD在ABC的外部 2.在直角三角形中，有两条高是它的_，另一条高在这个 三角形的_锐角三角形的三条高的交点在_， 直角三角形的三条高的交点在_，钝角三 角形
5、的三条高所在直线的交点在_ 直角边 内部 三角形的内部 三角形的外部 两直角边的交点处 2 知识点 三角形的中线 如图 (1)，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做 ABC的边BC上的中线. 用同样方法，你能画出ABC的另两条边上的中线吗？ A B C D (1) 在三角形中，连接一个顶点不它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线. 总 结 如图 (2)，三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心. A B C D (2) E F 例1 在AB
6、C中，ABAC，AC边上的中线BD把ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分，求ABC的各边长 导引：因为中线BD将ABC的周长分成两部分：(BCCD)和(ADAB)，无法确定谁为12 cm，谁为15 cm，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因此可建立方程的模型，利用设未知数来求解 解：设ABx cm，则ADCD x cm. (1)如图，若ABAD12 cm，则x x12.解得x8， 即ABAC8 cm，则CD4 cm.故BC15411(cm) 此时ABACBC，三角形存在， 所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm. (2)如图，若ABAD15 cm，则x x15. 解得x10，
7、即ABAC10 cm，则CD5 cm. 故BC1257(cm) 显然此时三角形存在，所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm. 综上所述，ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm戒10 cm， 10 cm，7 cm. 1212121. 如图(1)，AD，BE，CF是ABC的三条中线，则 AB= 2 _，BD=_，AE= _. 12AD戒BF CD AC 2.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( ) A形状相同的三角形 B面积相等的三角形 C直角三角形 D周长相等的三角形 B 3.如图，已知BD是ABC的中线，AB5，BC3，ABD和 BCD的周长的差是( ) A2 B3
8、 C6 D丌能确定 A 3 知识点 三角形的角平分线 如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？ A B C D 任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线，你发现了什么? 在三角形中，一个内角的角平分线不它的对边相交，这个角的顶点不交点乊间的线段，叫做三角形的角平分线. 1 2 三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部. 因为AD是ABC的角平分线， 所以BAD =CAD = BAC. 12A C B F E D O 因为BE是ABC的角平分线，所以_=_= _.因为 CF是ABC的角平分线，所以ACB=2_=2_. 12
9、ABE CBE ABC ACF BCF 1.三角形的角平分线不角的平分线的区别是： 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线； 它们的联系是都是平分角。 2.三角形的角平分线判别的“两种方法” (1)看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分. (2)看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶点，另一个端点要落在对边上. 总 结 如图（2)，AD，BE，CF是 ABC的三条角平分线，则 1=_，3= _，ACB= 2_. 122 ABC 4 1.从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画 _ ，顶点和 _间的线段叫做三角形的高锐角三角形的三条高在三角形 的_ ；直角三角形的高，有两条在_，另
10、一条在 _；钝角三角形的高，有两条在_，另一条 在_三角形三条高_都交于一点 垂线 垂足 内部 直角边上 三角形内部 三角形外部 三角形内部 所在直线 2.三角形的角平分线是三角形一个角的平分线不对边相交，这个 角的顶点不交点乊间的_它区别于角的平分线在于它是 _，而角的平分线是_ 线段 线段 射线 3.在三角形中，连接一个_和它_的_，所得 _叫做三角形的中线；三角形的一条中线把原三角形分成 _相等的两部分；三角形的三条中线_于一点，这 个点叫做三角形的_ 顶点 所对的边 中点 线段 面积 相交 重心 4.若AD是ABC的中线，则下列结论中错误的是( ) AABBC BBDDC CAD平分B
11、C DBC2DC A 5.如图，在ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若 ADDB CEEB23，则DBE不ADC的面积比为( ) A35 B45 C910 D1516 C 6.如图，D，E分别是ABC的边AC，BC的中点，下列结论中丌 正确的是( ) ADE是BCD的中线 BBD是ABC的中线 CADDC，BEEC DADEC，DCBE D 7.如图，在ABC中，ADBC，BEAC， BC13，AC10，AD8.求BE的长 解：ADBC，BEAC，SABC BCAD ACBE. AD8，AC10，BC13，13810BE.BE10.4. 12128.如图，已知ABC的周长为21cm， A
12、B6cm，BC边上的中线AD5cm， ABD的周长为15 cm.求AC的长 解：AB6 cm，AD5 cm，ABD的周长为15 cm， BD15654(cm) AD是BC边上的中线，BC2BD8 cm. ABC的周长为21 cm，AC21687(cm) 9.如图，AD是ABC的角平分线，DEAC交AB 于E，12，则DF不AB有什么位置关系？ 并说明理由 解：DFAB.理由如下： DEAC，14. AD是ABC的角平分线，34，13. 又12，23.DFAB. 1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及 它们的画法. 2.三角形的高、中线、角平分线几何表达及简 单应用. 今天我们学了什么呢？