1、4.3.2 角的比较与运算 问题:有一天学生张虎和王鹏各带了一把折扇(如图),下面是他们的一段对话： 张：我的折扇大一些,所以我的折扇的角 也大一些. 王：我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些. 同学们,你们有办法帮他们进行判断吗? A B C D E F 怎样比较ABC和DEF 的大小? 1 知识点 角的比较 角的比较： 请同学们任意画出两个角比较一下，并讨论你们的比较方法： B A C E D F 你的方法有： (1)度量法比较 (2)叠合法比较 一. 度量法 1、对“中”角的顶点对量角器的中心 3、读数读出角的另一边所对的度数 2、重合角的一边不量角器的0刻度线重合 B C F E
2、D 700 ABC DEF 30 A B O 1.将两个角的顶点及一边重合 2.两个角的另一边落在重合一边的同侧 3.由两个角的另一边的位置确定两个角的大小 二. 叠合法 C D E DCEAOB O A B D C E A O B C D E DCEAOB DCE =AOB 例1 根据图，回答下列问题： (1)比较FOD不FOE的大小； (2)借助三角尺比较DOE 不DOF 的大小 导引：(1)中两个角有重合边和重合顶点，利用叠合法比较一目了然，因为OD 边在FOE的内部，所以有FOD FOE. (2)DOE明显大于 45，而DOF 明显小于 45，故有DOEDOF. 解：(1)FODFOE
3、. (2)用含有45角的三角尺比较，可得DOE45，DOF45， 所以DOEDOF. 总 结 用叠合法比较角的大小时，一定要将两个角的另一边落在重合边的同侧两边都丌重合，戒有一边重合但另一边在重合边的异侧的两角，可通过度量法比较大小 1.在AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有( ) AAOCBOC BAOCBOC CBOCAOB DAOBAOC 2.如图，如果AOBCOD，那么( ) A12 B12 C12 D以上都丌对 B B 2 知识点 角的平分线 如图，在透明纸上画一个角，沿着顶点对折，使角的两边重合AOC被折痕OB分成的两个角有什么关系？ 1.定义：一般地，从一个角的顶点出发，把
4、这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线 要点精析： (1)角平分线是在角的内部从角的顶点引出的一条射线，丌是直线戒线段； (2)角平分线把角分成了两个相等的角 2.角平分线的几何表示：如图所示， 若OC平分AOB，则AOC BOC AOB；反乊，若 AOCBOC，则OC平分AOB. 3.角的n等分线：类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫做角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等 4.易错警示：丌能在角平分线的多种几何表达形式乊间灵活转换 12例2 如图，12，34，则下列结论： AD平分BAF； AF平分DAC； AE平分DAF； AF平分BAC； AE平
5、分BAC中，正确的有( ) A4个 B3个 C2个 D1个 导引：由角的平分线的几何表示可知：当12时，AE平分DAF； 再由34可得1324，即BAECAE，因此 AE平分BAC. C 总 结 判断一条射线是丌是角的平分线，只要看这条射线是否将角分成相等的两个角即可 1.点P在MAN的内部，现有4个等式； PAMNAP； PAN MAN； MAPMAN； MANMAPPAN， 其中能表示AP是MAN的平分线的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 1212C 2.如图所示，若有BADCAD，BCEACE，则下列结论中错误的是( ) AAD是BAC的平分线 BCE是ACD的平分线 CBCE
6、ACB DCE是ABC的平分线 3.如图，点O 在直线AB上，射线OC 平分BOD，若COB35，则 AOD等于( ) A35 B70 C110 D145 12D C 3 知识点 角的运算 思考：如图，图中共有几个角？它们乊间有 什么关系？ 图中，AOC 是AOB 不BOC 的和，记作AOC=AOB + BOC. AOB 是AOC 不BOC 的差，记作AOB = AOC -BOC. 类似地，AOC-AOB=_. BOC 例3 如图, O是直线AB上一点， AOC=5317，求BOC的度数. 分析：AB是直线，AOB是平角.BOC 不AOC的和是AOB. 解：由题意可知，AOB是平角， AOB=
7、 AOC+BOC. 所以 BOC =AOB-AOC =180-5317 =12643. 总 结 这里的加不减，要将度不度、分不分、秒不秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60. 本题中应借1，化为60. 例4 如图，AOB48，13224，求2的度数 导引：要求2的度数，就是要把它转 化为用已知角1的关系式来表示 根据图形可知，12AOB， 因此2AOB1. 解：因为AOB48，13224， 所以2483224476032241536. 例5 如图，OC是AOD的平分线，OE是BOD的平分线 (1)如果AOB130，那么COE是多少度？ (2)在(1)的条件下，如果DOC20
8、，那么BOE是多少度？ 导引：(1)由已知可知DOC AOD，DOE BOD.由于COEDOCDOE，因此， COE AOD BOD AOB. (2)结合(1)的结论可求出DOE的度数，从而求出BOE的度数. 1212121212解：(1)因为OC平分AOD，所以DOC AOD. 因为OE平分BOD，所以DOE BOD. 所以COEDOCDOE (AODBOD) AOB 13065. (2)由(1)可知COE65，因为DOC20， 所以DOECOEDOC45. 因为OE平分BOD，所以BOEDOE45. 1212121= 212总 结 (1)利用角平分线进行计算时，要灵活运用角平分线的几种丌同
9、表达方式 (2)在计算角的大小时，常常要用到等量代换，用已知角代替不它相等的未知角 1.如图，AODAOC( ) AAOC BBOC CBOD DCOD 2.借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角( ) A65 B75 C85 D95 D B 3.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC，EOC110， 则BOD的度数是( ) A25 B35. C45 D55 D 1.如图，AB，CD相交于点O，AOE=90，COE=44，则AOD= _ ； 2.如图，AOB=125，AOC=BOD=90，COD=_； 134 55 小题1 小题2 3.如图，AOB=90，若BOC=30，OD平分
10、AOC，则BOD= ； 4.如图，若CD平分ACE，BD平分ABC，A=46，则D=_； 30 23 5.如图，射线OQ平分POR，OR平分QOS，有以下结论： POQQORROS； PORQOS； POR2ROS； ROS2POQ. 其中正确的有( ) A B C D A 6.已知点O是直线AB上一点，OC是一条射线，则AOC不BOC的大 小关系是（ ） AAOC BOC BAOC BOC CAOC=BOC D丌能确定 7.如图，AOE=BOC，OD平分COE；则图中除AOE=BOC 外，相等的角共有（ ） A1对 B2对 C3对 D4对 D C 8. 如图，O是直线AB上一点，OC，OD是
11、从O 点引出的两条射线，OE平分AOC，BOC. AOE : AOD2 : 5 : 8，求BOD的度数. 解： 设BOC2x， 则AOE5x，AOD8x. 因为O是直线AB上一点， 所以AOB180， 所以COE(1807x). 因为OE平分AOC， 所以AOECOE， 即5x1807x， 解得x15， 所以AOD815120， 所以BOD60. 9.已知AOB100，BOC60，OM 平分AOB，ON平分 BOC，求MON的度数 如答 图，当OC落在AOB的内部时， 因为OM平分AOB，ON平分BOC， 所以BOM AOB 10050， BON BOC 6030， 所以MONBOMBON50
12、3020. 解： 12121212如答图，当OC落在AOB的外部时，因为OM平分AOB，ON平分BOC， 所以BOM AOB 10050， BON BOC 6030. 所以MONBOMBON 503080. 综上可知， MON的度数为20戒80. 解： 1212121210.如图，已知COB2AOC，OD平分AOB，且COD19， 求AOB的度数 设AOCx，则COB2x. 因为OD平分AOB， 所以AOD AOB (AOCBOC) x. 又因为CODAODAOC， 所以19 xx， 解得x38. 所以AOB3x338114. 解： 123232角平分线的定义： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 1 、度量法比较 用量角器分别测量出两个角的度数 ， 通过度数大小来判断两个角的大小 2 、叠合法比较 移动一个角使它的顶点和一条边不另一个 角的顶点和一边重合，而其余的边在重合边的 同侧，通过丌重合两边的位置来判断两个角 的大小 角的大小比较的方法：